Testo:
Un corpo puntiforme di massa $ m = 4 kg$ si trova in equilibrio statico sul pianale liscio di un carrello ad una distanza $d = 0.9 m$ dall’estremità libera di una molla ideale, disposta in configurazione orizzontale e avente l’altra estremità vincolata al punto O solidale al carrello.
Il carrello è a sua volta in quiete sul piano orizzontale e la molla ha costante elastica $k = 196 Nm−1$ lunghezza a riposo $l_0 = 0.5 m.$
Ad un certo istante il carrello viene messo in moto sul piano orizzontale verso destra con accelerazione di modulo costante $a_0 = 3.2 m/s^2 $.
Assumendo come istante t = 0 quello di impatto fra il corpo e l’estremità
libera della molla, determinare nel sistema di riferimento Oxy, solidale al carrello:
a) la velocità della massa m nell’istante di impatto contro l’estremità libera della molla;
b) il diagramma di tutte le forze (vere e fittizie) agenti sul corpo all’istante t = 0+;
c) l’equazione del moto del corpo per t > 0, nell’ipotesi che dopo l’urto il blocco rimanga attaccato alla
molla;
d) la posizione di equilibrio del corpo per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo per t > 0, considerando la sua posizione e velocità all’istante t = 0;
f) la compressione massima della molla per t > 0.
IMMAGINE:
SOL.:
a)
$ { ( z(t)=d-1/2at^2 ),( v(t)=-at ):} $
da cui ricavo $ t=sqrt((2d)/a)= 2.48 s $ e $v~= 8m/s$
b)
Nel sistema di riferimento solidale al carrello, al momento di aggancio della massa con la molla, le forze agenti sono la forza elastica, e la forza apparente $F_t=-mveca_0$, che compare perché siamo nel sistema accelerato.
$ ma'=sumvecF_i -mveca_o $
c)
l'eqauzione del moto diventa, in base a quello scritto sopra: $ ma' + kDeltax = -ma_o $
d),e)
Ponendo $Deltax= chi$, $ ddotchi + w^2chi=-ma_o $ , con $w=k/m.$
La posizione d'equilibrio è data dalla soluzione particolare $chi=(-ma_o)/k=-0.06 m$
la soluzione è data dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare, e dalle condizioni iniziali ricavo che la soluzione generale è $ chi(t)= ((ma_o)/k+l_o) cos(wt) - (ma_0)/k $ .
f)
Per la compressione massima ho ragionato così: quando è compressa, si inverte il suo moto, pertanto la velocità deve essere nulla nell'istante in cui è totalmente compressa.
Ho quindi derivato la soluzione generale di prima imponendo $ dotchi(t)=0 $ .
$ dotchi(t)=-w((ma_0)/k+l_0)sen(wt)=0 $ , da cui trovo $wt=kpi$ e per $k=1$ trovo il tempo di compressione massimo $t_c=pi/w=0.45 s$.
Può essere corretto ?