Limite - Tecnica Lim. Notevoli

[daniele4610]

Salve ragazzi, sto cercando di risolvere questo limite con la tecnica dei limiti notevoli... Assolutamente non De L'Hopital.
Ma appena ho iniziato a svolgere, ecco i primi dubbi...
Il limite è questo:

$ lim_(x->-1)[[root(3)((x+1))- ln(x+2)]/[log^2(x+2)+e^(x+1)-sqrt(x+2)]]^3 $

Un bel pezzo e praticamente, ho iniziato cercando di inserire la variabile t al posto di x+1, cosi avendo che x tende a -1, t mi tende a 0. Ma già nella ricerca del primo limite notevole ho grosse difficoltà per ricondurlo...

Qualcuno ha voglia di risolverlo insieme? Grazie

[anto_zoolander]

Mm intanto si, la sostituzione $y=x+1$ è buona. Dunque riscriviamo il limite come:

$lim_(y->0)[(y^(1/3)-ln(y+1))/(ln^2(y+1)+e^y-(y+1)^(1/2))]^3$

Si nota che:

$y^(1/3)=(1+(y-1))^(1/3)-1+1approx1/3(y-1)+1$ per $y->0$

$e^y=e^y-1+1approxy+1$ per $y->0$

$(y+1)^(1/2)=(1+y)^(1/2)-1+1approx1/2y+1$ per $y->0$

$lim_(y->0)[(1/3y+2/3-ln(y+1))/(ln^2(y+1)+y+1-1/2y-1)]^3$

$lim_(y->0)[(1/3y+2/3-ln(y+1))/(ln^2(y+1)+y/2)]^3$

Il limite così scritto non ha senso, bisogna distinguere $y->0^+$ e $y->0^-$ che vengono rispettivamente $+infty$ e $-infty$

[daniele4610]

Prima di tutto grazie per la pronta risposta... sto tentando di risolverlo su carta...
Il limite per essere più precisi è per x che tende a -1(+) [avevo il testo in foto e non si vedeva bene]

Altra cosa, per avere un riferimento, ho svolto questo testu su /www.wolframalpha.com/ e il risultato che mi riporta è zero

[daniele4610]

Applicando i limiti notevoli arrivo a una forma simila alla tua, e cioè questa:

$ lim_(y -> 0) [(y/3-log(y+1))/(log^2(y+1)+(y+1)-(y/2+1))] $

Facendo qualche sostituzione, noto che:

- i due logaritmi vanno a zero. (Risulta per entrambi log1=0);
- l'espressione al numeratore y/3 anch'essa uguale a zero;
- al denominatore (y+1) mi rimane 1; l'espressione -(y/2 + 1) mi restituisce un -1

Il limite è uguale a zero.

Ho sbagliato qualcosa, di tutto questo ragionamento?!

[anto_zoolander]

quali sono i limiti notevoli che hai utilizzato?

[daniele4610]

Anto errore mio, ti chiedo scusa
ho battuto male l'espressione sul sito di W.A. ecco perchè il risultato ci veniva diverso.

Se posso chiederti qualche minuto del tuo tempo, vorrei una risoluzione leggermente piu dettaglia di come hai (e abbiamo) operato su questo limite. Io intanto passo a rifarlo sul quaderno, con questo topic aperto, per riprende qualche punto.

Ti ricordo che è un x che tende a -1 da destra.

Grazie per l'aiuto (e per le risposte in orari tardivi )