Una fune inestensibile, passante nella gola di una carrucola disposta verticalmente e imperniata ad un asse orizzontale fisso passante per il suo centro P, collega il corpo A al corpo B, avente massa $m = 2 kg$, che pende verticalmente ed è pure collegato tramite una seconda fune inestensibile ad un corpo C pure di massa $M = 3 kg.$
Le masse delle funi, della molla e della carrucola sono trascurabili rispetto alla massa dei tre corpi. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 la fune a cui è ancorato il corpo C si spezza e il sistema A+B inizia a muoversi in direzione verticale, mentre
il corpo C cade al suolo.
Determinare nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oz:
a) la tensione iniziale della fune che collega i due corpi A e B;
b) la reazione $R_O$ del punto di aggancio O per t<0 ;
c) l’equazione del moto del sistema A+B per t > 0;
d) l’accelerazione del sistema A+B all’istante t=0+;
e) la posizione di equilibrio del corpo A per t>0;
f) la legge oraria del moto del corpo A, tenendo in debito conto delle sue condizioni all’istante t = 0
g) la reazione RO,min del punto di aggancio O quando il corpo A, durante il suo moto, si viene a trovare alla distanza minima dal punto O.
SOL.:
a)
A: $vecP_a+vecT+vecF_(el)=vec0$
B: $vecP_b + vecT+ vecT_2 = vec0$
C:$ vecP_c + T_2=vec0$
dall'ultima ricavo: $T_2=Mg$.
Da (B) ho $T= T_2 + mg = Mg+mg = g(M+m)= 5g = 49.05 N$.
$Deltax = mg/k=0.1m$
b)
sul gancio O agisce la forza elastica e la reazione del gancio per tenerla ancorata: $vecR_o + vec F_(el)=vec0$
da cui $R_o = kDeltax = 19.62$
c)
Corpo A: $-Mg -kDeltax + T = Ma$
Corpo B: $ T-mg = ma$
sommando membro a membro: $a(M+m)=2T -g - (kDeltax)/(M+m)$, ricordando che $T=g(M+m)$
$a + (kDeltax)/(M+m)= g $
Ponendo $Deltax = chi$ posso scrivere l'equazione differenziale del moto: $ddotchi + w^2chi=g$ con $k=sqrt((k)/(M+m))$.
d)
l'accelerazione $a = 2T/(M+m) - g - (KDeltax)/(M+m) = g - (KDeltax)/(M+m) = 5.89 m/s^2$
e) , f)
A:
$T-kDeltax - Mg= Ma$
$Ma + KDeltax = T-Mg$
dalla definizione di $T:$
$Ma+kDeltax = mg$
$a+ (kDeltax)/M = (m/M)g$, pongo $w^2 = sqrt(k/M)$
inoltre $Deltax = x(t) - l_o$
l'equazione del moto diventa $ddotx + w^2x=(m/M)g + l_o$
L'equazione particolare, che fornisce la posizione di equilibrio di A la trovo ponendo $ddotx=0$: $x_eq=mg/k + l_0=0.6m$
Dalle condizioni iniziali ricavo $A=l_o$ e $phi=3pi/2$
la legge oraria del moto del corpo A:$x(t)=l_o(1-cos(wt)) + (mg)/k + l_0$
g)
sul gancio O agisce la reazione che tiene ancorata la molla al piano e la forza elastica.
Nel momento di minima distanza, la velocità è nulla perché poi il moto si inverte, pertanto si ha $dotx(t_i)=0$ con $t_i$ da determinare,
impongo $dotx(t)=0$
ho $l_osen(wt)=0$ da cui ricavo $t_i=pi/w=0.4s$
O:$R_o = kDeltax = k(x(t_i) - l_0) = k(0.605-0.6) =k*0.105= 20.58 N$.
Che ne dite, può essere corretto ?
