massimizzare distanza punti Vs asse

[rosa munda]

Buonasera. Sono autodidatta e sono incappato in un esercizio che non so proprio come risolvere. Spero nel vostro aiuto (anche un suggerimento su dove cercare). Eccolo:
Determinare il punto P dell'asse Y tale che la differenza delle sue distanze dai punti M (-3, 2) ed N (2, 5) sia massima.
Sono in grado di trovare la distanza (perpendicolarita') tra punto e retta, ma non e'questo il caso, credo. E comunque avrei difficolta' con la retta che corrisponde ad uno degli assi. Grazie del vostro suggerimento o aiuto. Buona estate.

[axpgn]

Prima di tutto cancella l'altro messaggio (doppio e nella sezione sbagliata) ... poi, scrivi le espressioni delle due distanze $\bar(PM)$ e $\bar(PN)$, fai la differenza tra le due, derivi e cerca i punti in cui la derivata è nulla, l'eventuale massimo è lì ... (puoi anche evitare le radici quadrate, in tal caso verifica anche i minimi)

Cordialmente, Alex

[rosa munda]

Ti ringrazio per la risposta cosi' veloce! Vorrei chiederti,se non sono troppo invadente, se per caso c'e' un altro modo di arrivarci senza derivare, solo perche' non so se il testo su cui era scritto il problema e' del livello superiore (ma posso sbagliarmi). Ad ogni modo saprei forse cavarmela anche con la derivata. Grazie di nuovo.

[axpgn]

Molto probabile che esistano altre strade (per esempio geometriche) ma non saprei che dirti ...

[anto_zoolander]

alex sei sicuro si possa non passare dalle radici quadrate?

considerando $d_1=sqrt(4+(y-5)^2)$ e $d_2=sqrt(9+(y-2)^2)$

la funzione che utilizzo sarebbe $f(y)=|sqrt(4+(y-5)^2)-sqrt(9+(y-2)^2)|$

tu dicevi di utilizzare i quadrati delle differenze? Graficandole su un qualunque programma di grafica, perdo il massimo considerando i quadrati.

[axpgn]

Purtroppo le radici dobbiamo tenerle ...

[consec]

Massimizzare la funzione senza derivate non è difficile.
Preso un generico punto $P$ dell'asse delle ordinate, considera il simmetrico di $M$ rispetto a $x=0$, che ha coordinate $M_1(3;2)$. Chiaramente l'asse delle ordinate è equidistante da entrambi i punti, quindi l'esercizio si riduce a massimizzare la differenza delle distanze dai punti $N$ e $M_1$. Considera ora il generico triangolo $PNM_1$.
Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che un lato è sempre maggiore della differenza tra gli altri due, quindi $NM_1>|PN-PM_1|$, allora la lunghezza del segmento $NM_1$ è un limite superiore della funzione. Il valore dell'incognita per cui la funzione è massima è l'intersezione tra l'asse delle $y$ e la retta $NM_1$ (i tre punti sono allineati e il triangolo è degenere)

[rosa munda]

Grazie anche a te di questo suggerimento che ora cerchero'di eseguire: ci mettero'un bel po' perche' non sono proprio molto brillante in Math ma solo una grande appassionata. Mi rifaccio viva appena avro' risolto. Un grande saluto.

[rosa munda]

Ciao, ho intanto disegnato le tue istruzioni e compreso la tecnica. Ora mi studiero' tutta la logica sottesa e l'applicazione ad altre situazioni. Se non sbaglio il punto cercato che Massimizza lo posso trovare mediante la determinazione della retta che contiene il lato NM1 e la sua intersezione con l'asse Y. Ancora grazie. E buona giornata!

[rosa munda]

Come volevasi dimostrare non sono particolarmente brillante, ma finalmente ho compreso la logica (il triangolo e' costruito con due lati che rappresentano le distanze del tema,quindi ... etc). Ancora ciao e grazie. Avrei un altro quesito e dopo che mi saro'scervellata ancora un poco apriro' un altro argomento. Ciao