L'esercizio mi chiede
1) di classificare i punti critici della seguente funzione
\( \displaystyle \ f(x,y)=(x-2)^{2} (y^{2} -x^{2}) \)
2) di stabilire se f è limitata nel suo insieme di definizione.
Allora per quanto riguarda il primo punto ho iniziato imponendo il gradiente uguale a zero
\begin{equation}\label{eq:sist_eu_NO}
\left\{ \begin{matrix}
(x-2)^{2} (2y) = 0 \\
2(x-2)(y^{2} -x^{2}) -(x-2)^{2} (2x) = 0
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
ho risolto il sistema e mi trovo i seguenti punti critici (0;0) (2;0) (1;0).
Ho calcolato le derivate seconde e impostate l'hessiano constatando che
-(0,0) è punto di sella
-(1,0) punto di minimo relativo
-(2,0) punto di massimo relativo
il problema però è che dovrebbe uscirmi come punto infiniti risultati (cioè qualcosa del tipo (x;0) ). io però non riesco mai a capire, non solo in questo esercizio, ma in generale, come trovare questi punti che in realtà hanno come coordinate delle rette, partendo dal sistema.
per quanto riguarda la seconda domanda anche qui sono molto insicura. Avevo pensato di utilizzare dei limiti, vedendo anche su internet che usavano vari percorsi per vedere a cosa tendeva il limite della funione, ma chiedendo un consiglio alla mia professoressa, mi ha solo detto di dover sfruttare il concetto di codominio.
ringrazio in anticipo chi mi risponderà
