dan95 ha scritto:Che ne so...un punto?
"Un punto" ... non è una curva (e non ha senso parlare di "centro di curvatura" di un punto).
[Occorre che la funzione $y(x)$ (quella dell'equazione esplicita $y = y(x)$ della "curva") abbia la derivata prima e la derivata seconda – diciamole $y'(x)$ e $y''(x)$.
Localmente (attorno ad un suo punto
P), in prima approssimazione la curva è approssimata da un segmento della tangente in
P.
In seconda approssimazione da un arco del
"cerchio osculatore" in
P (cioè: che
combacia con la curva in P).
Il raggio di curvatura è il raggio del
cerchio osculatore.
Il "centro di curvatura" in
P è il centro del cerchio osculatore in
P.
Se la curva non è proprio un arco di cerchio (o una circonferenza completa), al variare del punto
P sulla curva il centro di curvatura C varia pure, descrivendo un'altra curva che è appunto il
"luogo dei centri di curvatura" della data curva.
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Considera una "curva" ... che sia curva (attorno a
P) nel senso comune della parola
.
Prendi due punti della curva – diciamoli
A e
B – molto vicini a
P, uno a destra e l'altro a sinistra.
Considera le perpendicolari alla curva per
A e
B (ossia la perpendicolare per
A alla tangente in
A e la perpendicolare per
B alla tangente in
B).
Le due perpendicolari si incontreranno in un punto
C.
Al tendere simultaneo di
A e
B a
P, le due perpendicolari tendono alla perpendicolare per
P e
C tende al
"centro di curvatura" della data curva in
P.
Se fai questo srivendo davvero le equazioni delle perpendicolari per
A e
B e fai davvero quel limite, dette $x$ e $y$ le coordinate di
P e $X$ e $Y$ quelle del centro di curvatura
C, trovi:
$X = x - y'.(1+(y')^2)/(y'')$;
$Y = y - y'.(1+(y')^2)/(y'')$
(dove $y'$ e $y''$ sono rispettivamente le derivate prima e seconda di $y(x)$ in $x$ che è l'ascissa di P).
Il raggio di curvatura in
P (ossia del cerchio osculatore in
P) viene dunque:
$r_P = sqrt((X-x)^2 + (Y-y)^2) = sqrt((i+y'^2)^3)/(|y''!)$.
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P.S.
Chiedo scusa.
Avevo iniziato questa risposta molto tempo fa, quando c'era solo la risposta che ho citato all'inizio di questo
post.
Poi ho sospeso e infine ripreso senza vedereche intanto erano arrivate altre risposte.
Vulplasir ha scritto:La cicloide
Ma ... occorre spiegare perché!
Ciao ciao