Non conservazione dell'energia su piano inclinato

[feddy]

Testo:
Un'automobile, assimilabile a un corpo puntiforme, si muove di moto rettilineo con velocità costante di modulo $v_0 = 20 m/s$ in salita lungo una strada inclinata di $α = 16.5°$ rispetto al piano orizzontale.
Il corpo si muove sotto l'azione delle seguenti forze:
1) forza di un motore che eroga una potenza costante di $25 kW$;
2) sua forza peso e corrispondente reazione vincolare del piano inclinato;
3) forza d'attrito cinematico radente, caratterizzata da un coefficiente di attrito $µ_d = 0.2$.

Determinare:
(a) la forza che il motore esercita sull'automobile;
(b) la massa dell’automobile.
Supponendo che a un certo istante di tempo (t=0) il motore venga spento, si calcoli:
(c) la lunghezza del tratto rettilineo che l'automobile percorre lungo la salita prima di fermarsi;
(d) la velocità con cui ripassa dalla posizione occupata all’istante t = 0, durante il successivo moto di discesa
(si supponga che il coefficiente di attrito statico sia = 0.25).


SOL.:

a)
Per definizione di potenza: $Pot=dW/dt=vecF*vec(dr)/dt = vecF*vec(v)$ da cui $F_m=(Pot)/v_o = 1250 N$

b)
la massa pensavo di ricavarla dalla seconda legge di Newton
il moto è uniforme pertanto $vec(a)=vec0$.

$ma = vecP+vecN+vecF_(ad) + F_m=vec0$

$x: -mgsenalpha - u_dmgcosalpha +F_m=0$

da cui $m=(F_m)/(gsenalpha + u_dcosalpha)=268 kg$


c)
se a t=0 il motore viene spento, allora si ha $v_o=20m/s$.

Quando si ferma $v_f=0$ e avrà percorso un certo spazio $d$ lungo il piano inclinato.

Per il principio di conservazione dell'energia, il lavoro svolto dalle forze dissipative (in questo caso l'attrito) è pari alla variazione di energia meccanica.

Inizialmente, per $t=0$ , l'energia meccanica $E_(m,i) = 1/2mv_o^2$

Quando si ferma l'energia meccanica $E_(m,f) = mgH$, dove H è la quota raggiunta dal punto.

Dalla definizione di $senalpha=H/d$ ho $d=H/senalpha$.

Il lavoro della forza d'attrito è pari a $W_(attr)= -u_dmgcosalpha*d$

Quindi: $ -u_dmgcosalpha*(H/senalpha) = mgH - 1/2mv_o^2$ da cui ricavo $d = v_o^2/(2g(1+u_dcotg(alpha))) = 12.2 m$

$d=H/(sen(16.5)) = 43 m$



d)

tg(alpha)<u_s, allora la macchina riparte

ora lungo l'asse x ho accelerazione ma il verso dell'attrito cambia: $ma_x= -mgsenalpha + u_dmgcosalpha$

$a_x= g(-senalpha + u_dcosalpha) = -0.88m/s^2$

$ { ( x(t)=d+1/2a_xt^2 ),( v(t)=a_t ):} $

quando ripassa $x(t) =0$ e $t_f=7s$ da cui $v= 6.2 m/s$ diretta nel verso opposto rispetto all'asse x.
può essere corretto ? soprattutto l'ultimo punto ?

grazie a chi mi potrà essere d'aiuto

[Al Nilam]

I punti a) e b) vanno bene. Per il punto c) , perché vai ad impegolarti col principio di conservazione dell'energia ? Io direi , più semplicemente, che nel momento in cui il motore si spegne (t=0) cessa la forza motrice verso l'alto , e l'auto ha una velocità iniziale verso l'alto di valore : $v_0 = 20 m/s$ . Le forze agenti ora sono solo la componente del peso lungo il piano inclinato, che vale $mgsen\alpha$ , e la forza di attrito, diretta anch'essa verso il basso, di valore : $ \mu*mgcos\alpha $.
PErcio il moto è "uniformemente decelerato" , e si ha :

$v = v_0 -at$
$s = v_0t - 1/2at^2$

dove $a = g( sen\alpha + \mucos\alpha) = 4.66 m/s^2$

quindi lo spazio percorso fino all'arresto vale : $s = 1/2v_0^2/a = 42.92 m $

Il valore coincide col tuo ovviamente, ma non mi sono impegolato con la conservazione dell'energia.

Per il punto d) , nulla ti impedisce di cambiare orientamento all'asse $x$ , ponendolo positivo verso il basso, e con origine nel punto più alto prima raggiunto. Ora il moto avviene per gravità , quindi è uniformemente accelerato , con accelerazione data da:
$ g(sen\alpha - \mucos\alpha) = 0.9048 m/s^2$
poiché la forza di attrito è diretta in verso contrario al moto. Per trovare la velocità che ha quando ripassa per il punto in cui si è fermato il motore in salita, basta che risolvi il sistemino :

$v=at$
$s=1/2at^2$
da cui : $v = sqrt(2as)$

con il valore di $a$ ora calcolato , e con il valore di $s = 42.92 m $ . Risulta : $v = 8.81 m/s$

[feddy]

Innanzitutto grazie mille per la risposta.

Per il punto c) hai perfettamente ragione, l'ho fatto più per provare ad usare l'aspetto energetico.

Per il punto d): a me pare che il risultato con il mio metodo dovrebbe essere uguale....probabilmente ho sbagliato qualche valore numerico. È corretto?

[Al Nilam]

Per il punto d) , il procedimento sarebbe corretto, ma perché vuoi dare un segno negativo all'accelerazione ? Scrivi:

$ a = g( - sen\alpha + \mucos\alpha) $ , che è uguale a $ - 0.9048 m/s^2 $ ( hai sbagliato il calcolo) , ma concettualmente direi che non conviene assumere negativa l'accelerazione sol perché il vettore $veca$ è diretto nel verso negativo dell'asse $x$ che hai preso prima , che è positivo verso l'alto. Col tuo procedimento , si avrebbe :

$0 = 42.92 + 1/2 (-0.9048) t^2 $ , da cui : $ t = 9.74 s $

e perciò : $v = -0.9048*9.74 m/s = - 8.81m/s$

dove anche $v$ risulta negativa perché $vecv$ è orientata nel verso negativo dell'asse $x$ .

Ma perché gli studenti devono complicarsi la vita, e facilmente sbagliare con i segni, confondendosi con vettori e componenti di vettori sugli assi, sol perché pensano che gli assi non si possano assumere a proprio vantaggio e piacimento ?

[feddy]

A dire il vero ho preferito mantenere l'orientamento dell'asse per distinguerlo dal caso in cui l'accelerazione è positiva, era più per scrupolo che per altro.

Grazie mille per gli accorgimenti, sei stato di grande aiuto !!