Scusate se mi intrometto ma sono schiffarato e almeno mi passo il tempo
Intanto dimostrare la convergenza dell'integrale è particolarmente semplice. Basta notare che:
$1/(x^3+x^2)=1/(x^2(x+1))leq1/x^2,forallx inRRcap[2,+infty)$
ho messo solo l'intervallo di interesse, puoi verificarlo facilmente. Inolte la funzione è positiva in tutto quell'intervallo, quindi possiamo affermare abbastanza felicemente che:
$0leqint_(2)^(+infty)1/(x^2(x+1))dxleqint_(2)^(+infty)1/x^2dx$
ora quell'integrale è particolarmente semplice da calcolare(in particolare converge) e infatti:
$int_(2)^(+infty)1/x^2dx=[-1/x]_(2)^(+infty)=1/2$
dunque
$0leqint_(2)^(+infty)1/(x^2(x+1))dxleq1/2$
quindi l'integrale deve convergere e in particolare deve converge in un valore $Ain[0,1/2]$ che comunque già è una buona stima, vista che è un intervallo abbastanza piccolo.
per il calcolo basta ricordare che $1/(x*x(x+1))=A/x+B/x^2+C/(x+1)$ per mezzo di Hermite.
$(Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2)/(x^3+x^2)=(x^2(A+C)+x(B+A)+B)/(x^3+x^2)$
${(B=1),(A+C=0),(A+B=0):}=>{(B=1),(A=-1),(C=1):}$
non resta che calcolare l'integrale che ne deriva dalla scomposizione
$int_(2)^(+infty)[1/x^2-1/x+1/(x+1)]dx=[-1/x+ln(x+1)-ln(x)]_(2)^(+infty)$
$[ln((x+1)/x)-1/x]_(2)^(+infty)=[0-0-(ln(3/2)-1/2)]=1/2-ln(3/2)$
Ah quasi dimenticavo. Per l'integrabilità basta far notare che se $f$ è continua su $[2,+infty)$ allora $f$ è integrabile su $[2,+infty)$ poiché continuità $=>$ integrabilità.
beh considerando che la funzione è continua su tutto $RR-{-1,0}$, sicuramente è continua su $RRcap[2,+infty)$, dunque è integrabile.