Chiarimenti su valore assoluto e semplificazioni di radicali

[AleBlueSky]

Salve a tutti e grazie in anticipo per la risposta.
Sto ripassando i radicali in vista del nuovo anno scolastico. Premetto che quest'anno matematica è stata una materia molto complicata da studiare, ma sono riuscita a capire tutto tranne una cosa che proprio non riesco a capire.
Quando semplifico i radicali non capisco dove mettere il valore assoluto. Nonstante molte richieste il mio professore non mi ha spiegato al meglio l'argomento e non ha colmato i miei dubbi, perciò spero di trovare risposta qui.

Ecco i miei dubbi :
1. Se scrivo le C.E. , posso omettere il valore assoluto o no?
2. Questi sono i due esercizi che mi hanno fatto sorgere dubbi :
8√[(a(a-b)^3 (a^2-b^2))/(a^2+ab)^7 )] ------> ∜[(a-b)^2/(|a^3 ||(a+b)^3 |)]
Se ho capito bene, i valori assoluti qui servono perché a^3 e (a+b)^3 possono essere negativi e l’indice della radice è pari.
In questa che segue
12√[(a^6 b^3)/(b^2+b)^3 ]
Che da come risultato
∜[a^2/(b+1)]
Non viene messo il valore assoluto a b+1. Ma nel caso b+1 producesse un risultato negativo renderebbe negativa la frazione. Perciò io metterei un valore assoluto, ma il libro non lo mette.

Se qualcuno può darmi chiarimenti gliene sarei molto grata. Una spiegazione generale che mi permetta di risolvere gli esercizi.
Grazie!!!

[anto_zoolander]

Cerco di banalizzare un po' il concetto per vedere se ci siamo.

Prendiamo il caso di $sqrt(a^2)$.
Brutalmente cosa si sta' tentando di fare? Prendere un numero, elevarlo al quadrato e poi farne la radice quadrata. In poche parole sarebbe come scrivere $sqrt(3^2)=3$ no? Poiché stiamo andando da una parte e poi tornando indietro. Qual è il problema di fondo nella semplificazione? Se tu prendi $a$ e lo elevi al quadrato, ti viene un numero sempre positivo, quindi non ti si vengono a creare problemi di definizione, infatti $sqrt((-3)^3)=sqrt(3^2)=3$. Quindi la quantità $sqrt(a^2)$ è ben definita.

Il problema si pone quando vogliamo scrivere $sqrt(a^2)=$qualcosa.
È ovvio che se $a$ è positivo siamo a cavallo, poiché $sqrt(a^2)=a,forallageq0$

Come tutte cose, i problemi cominciano a sorgere quando guardiamo al negativo proviamo a porre la stessa equazione precedente e considerare però numeri negativi.

$sqrt((-3)^2)=(-3)=>3=-3$

Questo cosa significa? Che sebbene facciamo avanti e indietro, c'è un piccolo ostacolo da agirare che è il segno del radicando, che lo agiriamo per mezzo dell'elevazione a potenza. Quindi per rendere il tutto sensato, poniamo $sqrt(a^2)=|a|,foralla<0$

È chiaro che essendo $|a|$ anche se $a>0$, si può porre $sqrt(a^2)=|a|,forallainRR$

Questo concetto lo si può generalizzare per qualsiasi indice pari, infatti:

$root(n)(a^n)=|a|$ se $n$ è pari.

Se $n$ è dispari non ci importa nulla perché i segni non creano alcun problema. Infatti in un'elevazione a potenza dispari o estrazione di radice dispari, se un numero è negativo, resta negativo.

Un esempio banale ma che può essere utile è il seguente.

$root(6)(a^2)$

È chiaro che questa cosa è definita solo per radicandi positivi, se questo è vero possiamo semplificare l'indice della radice e l'esponente del radicando dividendo entrambi per $2$.

$root(3*2)(a^2)=root(3)(|a|)$

Il motivo è abbastanza evidente: se abbiamo a sinistra una quantità che è comunque positiva, una volta semplificati i due apici, quella quantità deve continuare a essere positiva. Anche $root(3)(a)$ ha senso ed è ben definita, ma non è equivalente a quella precedente se consideriamo numeri negativi.

Diciamo che questi concetti diventeranno moooolto più chiari con l'analisi.

Per quanto riguarda le C.E.... Ti danno un po' le restrizioni sul problema. Di fatto se l'espressione $root(6)(a^2)=root(3)(|a|)$ è ristretta ai solo valori di $ageq0$, allora essendo $|a|=a,forallageq0$ si può tranquillamente dire:

$root(6)(a^2)=root(3)(a),forallageq0$

In generale è importante capire quanto stai facendo, attraverso quello puoi capire quello che devi fare.

Ora vediamo uno dei due esercizi, il secondo spero che avrai la possibilità di farlo sola:

$root(12)((a^6b^3)/(b^2+b)^3)$

Cosa numero uno: le CE. Prima di muovere ogni singolo passo devi vedere le CE. In questo caso abbiamo un indice pari.
Ora l'esponente di $a$ è pari, quindi $a$ è felice. Ora però a numeratore e denominatore abbiamo due quantità infelici che possono essere negative e dobbiamo forzare ad essere positive.
Creiamo dunque un sistema

${((b^3)/(b^2+b)^3geq0),(b^2+bne0):}$

La seconda è risolta se $bne0$ e $bne-1$.
La prima basta considerare il prodotto dei segni di numeratore e denominatore.

Intanto raccogliamo $b$ a den. Ottenendo $b^3/(b^3(b+1)^3)geq0$
dovendo essere $bne0$ possiamo semplificarli, ottenendo una disequazione equivalente

$1/(b+1)^3geq0=>b> -1$

Dunque la soluzione del sistema è $b> -1,bne0$. A seguito di questo possiamo cominciare a rimaneggiare l'espressione.

$root(4*3)(a^(3*2)(b/(b^2+b))^3)=root(4)((a^2)/(b+1)),forallainRR,forallbinRR:bne0,b> -1$

Il fatto di non scrivere $|b+1|$ è dato dal fatto che abbiamo imposto sin dall'inizio che debba essere $b> -1$ e dunque non vi è necessità. Considera sempre che $|b+1|=b+1,forallb> -1$

L'espressione si può semplificare ulteriormente facendo questa considerazione

$root(4)((a^2)/(b+1))=root(4)(a^2)/(root(4)(b+1))=sqrt(|a|)/(root(4)(b+1))$

Lascio a te il verificare la correttezza. Dello staccare le due radici e fare quello che ho fatto.

Infine ti faccio notare che questa proprietà vale anche semplicemente con i numeri

$1=sqrt(1)=sqrt((-1)^2)=|-1|=1$

[AleBlueSky]

Grazie mille, ora le idee sono più chiare riguardo l'argomento!

[anto_zoolander]

Di niente. Se dovessi avere qualche dubbio, dì pure.