Biforcazioni in sistemi dinamici

[teo_182]

Qualcuno può farmi qualche esempio di biforcazioni di sistemi dinamici (a tempo continuo) ?

Buongiorno a tutti, 
se possibile vorrei che qualcuno mi potesse fare qualche esempio pratico di sistema dinamico che presenta delle biforcazioni. 

In particolare sarei interessato alle seguenti biforcazioni (basta un solo sistema per ogni biforcazione): 

1) transcritica 
2)nodo-sella 
3)forcone 
4)hopf 

Quello di cui avrei bisogno non sono le equazioni differenziali che governano il sistema ma è sufficiente che mi spiegate il sistema dinamico a parole; vi faccio un esempio per intenderci: 

Un esempio di sistema dinamico che presenta biforcazione di hopf è il seguente: 

"Un esempio di biforcazione di hopf è quello del tremito che insorge qualora ci si sottoponga ad una tensione lentamente crescente". 

Una cosa molto qualitativa insomma, 
Grazie mille.

[Raptorista]

Un esempio che mi viene al volo è l'equazione di Navier-Stokes incomprimibile per il flusso su un cilindro.
A basso numero di Reynolds c'è una sola soluzione stabile, che è il flusso stazionario simmetrico; a Reynolds un po' più alto la soluzione stabile è quella che presenta la caratteristica scia di vortici di Von Karman, però la soluzione stazionaria simmetrica esiste ancora come soluzione dell'equazione, però è instabile e in natura non si verifica. In questo caso c'è stata una biforcazione delle soluzioni rispetto al numero di Reynolds.

[teo_182]

Un esempio che mi viene al volo è l'equazione di Navier-Stokes incomprimibile per il flusso su un cilindro.
A basso numero di Reynolds c'è una sola soluzione stabile, che è il flusso stazionario simmetrico; a Reynolds un po' più alto la soluzione stabile è quella che presenta la caratteristica scia di vortici di Von Karman, però la soluzione stazionaria simmetrica esiste ancora come soluzione dell'equazione, però è instabile e in natura non si verifica. In questo caso c'è stata una biforcazione delle soluzioni rispetto al numero di Reynolds.

Mi piace.. in questo cAso che tipo di biforcazione sarebbe?

Altre idee? (Anche molto più semplici, che ne so.. oggetto su una mensola, sciatore.. ecc..)
Ne ho davvero bisogno! Solo che non ho sufficiente inventiva per pensarci da solo.. grazie!

[Raptorista]

È il tipo di biforcazione in cui un ramo stabile si separa in uno stabile ed uno instabile, non ricordo come si chiama.

Altri esempi mi sembrano un po' artificiosi:
[*] numero di soluzioni di \(x^2 + 2x + c = 0\) al variare di \(c\)
[*] numero di cammini minimi su una corona circolare da \(A\) a \(B\) muovendo \(B\) [quando si trova diametralmente opposto ad \(A\), i cammini di colpo diventano due].

Forse ne vuoi sentire qualcuno più fisico però...

[teo_182]

È il tipo di biforcazione in cui un ramo stabile si separa in uno stabile ed uno instabile, non ricordo come si chiama.

Altri esempi mi sembrano un po' artificiosi:
[*] numero di soluzioni di \(x^2 + 2x + c = 0\) al variare di \(c\)
[*] numero di cammini minimi su una corona circolare da \(A\) a \(B\) muovendo \(B\) [quando si trova diametralmente opposto ad \(A\), i cammini di colpo diventano due].

Forse ne vuoi sentire qualcuno più fisico però...

In realtà mi va bene qualunque cosa! Anche quello della corona circolare, l'importante è che si possa spiegare "a parole" (esattamente come hai fatto tu). Non cerco la trattazione analitica

[Raptorista]

Anche quando sei in aeroporto e devi portare la valigia hai di fronte una biforcazione: puoi spingerla o tirarla. Al variare della velocità [positiva o negativa] avere la valigia davanti è stabile o instabile, e l'altra posizione ha l'altra proprietà.
Sono un po' tirati per i capelli questi esempi, ma dovrebbero farti capire il concetto. La valigia è la stessa cosa del pendolo, solo che far variare la gravità è una cosa più esotica da dire

[teo_182]

Anche quando sei in aeroporto e devi portare la valigia hai di fronte una biforcazione: puoi spingerla o tirarla. Al variare della velocità [positiva o negativa] avere la valigia davanti è stabile o instabile, e l'altra posizione ha l'altra proprietà.
Sono un po' tirati per i capelli questi esempi, ma dovrebbero farti capire il concetto. La valigia è la stessa cosa del pendolo, solo che far variare la gravità è una cosa più esotica da dire

Quello della valigia mi piace un casino! Quello è un esempio di transcritica (esistono sempre due equilibri che al variare di un parametro si scambiano la stabilità).
Il punto è che non sto chiedendo questi esempi per capire il concetto di biforcazione. La trattazione matematica è del tutto chiara (è anche molto semplice dopo tutto).
Solo che per un lavoro che devo fare ho bisogno di portare degli esempi "terra terra" (che potrebbe capire anche chi di matematica non sa nulla) per ognuna delle biforcazioni sopra citate.
Ma la mia mente è limitata in questo senso e non sono proprio capace! XD

[Raptorista]

Solo che per un lavoro che devo fare ho bisogno di portare degli esempi "terra terra" (che potrebbe capire anche chi di matematica non sa nulla) per ognuna delle biforcazioni sopra citate.

La mia segretaria ti comunicherà la mia percentuale!