Vincent46 ha scritto:En passant, qualcuno saprebbe dimostrare la periodicità delle funzioni seno e coseno (penso alle funzioni di variabile reale) usando solo la definizione come serie di potenze, e non facendo ricorso ai fatti ben noti di trigonometria?
La cosa è piuttosto lunga (e noiosa), ma non è concettualmente difficile!
1) Si possono costruire le serie delle funzioni seno e coseno senza usare le derivate utilizzando solo opportune proprietà delle funzioni circolari, e cioè il fatto che il seno è una funzione dispari, il fatto che il coseno è una funzione pari e le formule di somma.
Memorizzare questo fatto! La serie delle funzioni seno e coseno hanno i coefficienti tali che risulta:
a) $sin(–x) = –sin(x)$ e $cos(-x) = cos(x)$;
b) $sin(x + y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)$ e $cos(x+y) = cos(x)·cos(y) – sin(x)·sin(y)$.
2) Note le serie di potenze, si trova subito che la deriva del seno è il coseno, che la derivata del coseno è l'opposto del seno e che la derivata seconda è l'opposto della funzione stessa.
3) Tenendo conto di ciò, siccome per x piccolo il coseno (che è 1 per x = 0) è positivo, il seno è crescente, e quindi positivo (e piccolo per x piccolo).
Ma siccome il coseno ha per derivata l'opposto del seno, il coseno è inizialmente decrescente.
Allora la derivata del seno cala, cioè il seno cresce si ma sempre di meno fino ad avere un massimo e poi cominciare a calare. Ma allora lì dove il seno è massimo la sua derivata, cioè il coseno, si annulla.
Chiamiamo p/2 il valore di x dove si annulla il coseno ed è massimo il seno (senza per ora sapere quanto vale p).
Memento:
cos(p/2) = 0.
Con ciò abbiamo:
$sin(p) = sin(p/2 + p/2) = 2sin(p/2)·cos(p/2) = 2·sin(p/2)·0 = 0.
Memento:
sin(p) = 0;
sin(p/2) = <massimo>4) Abbiamo ancora:
$1 = cos(0) = cos(p - p) = cos^2(p) + sin^2(p) = cos^2(p) + 0 ⇒ |cos(p)|=1$
e anche
$cos(p) = cos(p/2 + p/2) = 0 – (sin(p/2)]^2 < 0$
per cui
$cos(p) = –1$ e $sin(p/2) = 1$.
Ancora:
$cos(2p) = cos^2(p) – sin^2(p) = (-1)^2 – 0^2 = 1$.
$sin(2p) = 2sin(p)·cos(p) = 2·0·(-1) = 0$.
Memento: $sin(2p)=0$ e $cos(2p) = 1$.
5) Allora la faccenda della periodicità è fatta perché
$sin(x + 2p) = sin(x)·cos(2p) + cos(x)·sin(2p) = sin(x)·1 + cos(x)·0 = sin(x)$.
$cos(x+2p) = cox(x)·cos(2p) – sin(x)·sin(2p) = cos(x)·1 – sin(x)·0 = cos(x)$.
6) Resta da trovare quanto vale p.
Dalla formula di somma viene quella di duplicazione ed invertendo questa si ha quella di bisezione.
Ripetendo la formula di bisezuine partendo da sin(p/2) = 1 si trova
$sin(p/(2^n)) = sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+...sqrt(2))))/2$ dove nel numeratore ci stanno n-1 "due".
Siccome il limite di sin(x)/x al tendere di x a zero vale 1, si trova che p è il limite del prodotto di 2^n per quel radicale del numeratore di sin(p/2^n) dove dopo il primo "due" c'è un "meno" e poi tutti "più" per complessivi n-1 "due".
Insomma, occorre continuare come segue:
$p_0 = 2·sin(p/2) = 2$;
$p_1 = 4·sin(p/4) = 2sqrt(2) ≈ 2,8284...$;
$p_2= 8·sin(p/8) = 4sqrt(2 -sqrt(2)) ≈ 3,0614 ...$;
$p_3= 2^4·sin(p/(2^4)) = 2^3·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2))) ≈ 3,1214 ...$;
$p_4= 2^5·sin(p/(2^5)) = 2^4·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))) ≈ 3,1365 ...$;
---
$p_7= ... = 2^7·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))))))) ≈ 3,1415...$
---
$p_11 = ...
3,141592348...
...
Teoricamente, $p = p_∞ = π$
_______