Dimostrazione

[iconicsoul]

Salve! Mi è capitato di trovare un esercizio che richiede una dimostrazione, ma non so proprio dove mettere le mani. Ecco il testo:

" Dimostrare che $ e^(ipi ) = - 1 $ "

Ci ho riflettutto molto, tuttavia niente sembra avvicinarsi a una soluzione.
Grazie

[dan95]

Senza usare l'identità $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, immagino...

[Erasmus_First]

Salve! Mi è capitato di trovare un esercizio che richiede una dimostrazione, ma non so proprio dove mettere le mani. Ecco il testo:

" Dimostrare che $ e^(ipi ) = - 1 $ "

Ci ho riflettutto molto, tuttavia niente sembra avvicinarsi a una soluzione.
Grazie

Ma dai!
Se si sa cosa significa elevare e ad un esponente immaginario – cosa del tutto simbolica! – si sa anche che:
$e^(ix) = cos(x) + i sin(x)$.
Se no ... che cosa mai vorrà dire elevare un numero reale ad un esponenyte immaginario?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Mi permetto di rifare un po' la "anamnesi" di questa faccenda.

La scrittura $e^z$ con z non reale è soltanto simbolica, non intende essere certo una vera elevazione.
Questa scrittura indica una funzione di variabile complessa (che assume valori complessi) che ha le stesse proprietà possedute dalla finzione reale esponenziale di base e e esponente reale.
[Si ricordi che e è il limite della successione ${a(n)} = {(1 + 1/n)^n}$ al tendere di n all'infinito].

Si dimostra facilmente che l funzione esponenziale $e^x$ (con x reale) ha per sviluppo in serie di potenze:
$e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... + x^n/(n!) + ...$. (*)
[La dimostrazione si può fare benissimo senza usare le derivate, ma con le sole proprietà:
$e^0 = 1$; $e^x·e^y = e^(x+y)$].
Ora, nella (*) si sostituisca x (reale) con z complesso qualsiasi. Si ottiene la serie di variabile complessa z:
$E(z) = 1 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/(4!) + ... + z^n/(n!)+ ...$ (**)
Siccome la serie (*) è assolutamente convergente (in quanto converge anche per x > 0 arbitrario, anche grande a piacere), allora:
• la serie (**) – cioè mettendo z complesso al posto di x reale – converge per ogni z complesso.
Di conseguenza:
• la funzione E(z) alla quale converge la serie quando la variabile è complessa ha tutte le proprietà della funzione reale $e^x$, cioè:
$E(0) = 1$; $E(x)·E(y)= E(x+y)$; $[E(x)]^y = E(xy) = [E(y)]^x$; $(dE(z))/(dz) = E(z)$.
• cambiando comunque l'ordine degli addendi la serie converge sempre e sempre alla stessa funzione;
• siccome per z = x reale si cade nello sviluppo in serie di dell'esponenziale di base e, si costuma indicare la funzione complessa $E(z)$ [alla quale tende la serie (**) [per variabile z complessa] con il simbolo $e^z$ e chiamarla ancora "funzione esponenziale".
Supponiamo ora che sia $z = iφ$, con φ reale e i unità immaginaria.
Ricordando che $i^2 = –1$; $i^3 = –i$; $i^4 = 1$; e per n intero maggiore di 4 $i^n = i^(n mod 4)$ si trova:
$E(iφ) ≡ e^(iφ) = 1 + iφ - φ^2/2 - iφ^3/(3!) + φ^4/(4!) + iφ^5/(5!) - φ^6/(6!) - iφ^7/(7!)+... =$
$= (1 – φ^2/2+ φ^4/(4!) - φ^6/(6!) + ...) + i(φ - φ^3/(3!) + φ^5/(5!) - φ^7/(7!) + ...)$.
Ricordando infine gli sviluppi in serie di potenze di cos(φ) e di sin(φ), si conclude che
$E(iφ) = e^(iφ) = cos(φ) + i sin(φ)$.

D'altra parte, se consideriamo la funzione complessa di variabile reale φ:
$cos(φ) + i sin(φ)$
e la sua coniugata
$cos(φ) - i sin(φ) = cos(-φ) + i sin(-φ)$
abbiamo subito:
$[cos(φ) + i sin(φ)]·[cos(φ) - i sin(φ)] = cos^2(φ) + sin^2(φ) = 1 = cos(0) = $
$=cos(φ-φ) + i sin(φ-φ)$;
$[cos(α)+ i sin(α)]·[cos(β)+ i sin(β)] =$
$=[cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)] + i [cos(α)·sin(β) + sin(α)·cos(β)] =$
$=cos(α + β) + i sin(α + β)$.
$(d/(dφ)[cos(φ) + i sin(φ)] = -sin(φ) + i cos(φ) = i[cos(φ) + i sin(φ)]$.
Pertanto, la funzione cos(φ) + i sin(φ) ha tutte le proprietà formali della funzione complessa "esponenziale" E(z) quando è
$z = iφ$.
In particolare $E(iπ) = cos(π) + i sin(π) = –1 + i·0 = –1$ (che è la tua formula, caro "iconicsoul" – ma che razza di user-name ti sei dato? –)
Se dunque indichiamo con $e^z$ la funzione complessa E(z) [che è pure chiamata "esponenziale"] – ecco che nel campo complesso per z = iπ vale quella formula che molti dicono essere la più bella della analisi matematica [in quanto contiene le 5 importantissime costanti dell'analisi
1, 0, π, e, i (= unità immaginaria)]:
$e^(iπ) + 1 = 0$.

_______

[Vincent46]

En passant, qualcuno saprebbe dimostrare la periodicità delle funzioni seno e coseno (penso alle funzioni di variabile reale) usando solo la definizione come serie di potenze, e non facendo ricordo ai fatti ben noti di trigonometria? Ricordo di averci provato, ma di non essere approdato a nulla.

[iconicsoul]

Grazie a entrambi!

[Erasmus_First]

En passant, qualcuno saprebbe dimostrare la periodicità delle funzioni seno e coseno (penso alle funzioni di variabile reale) usando solo la definizione come serie di potenze, e non facendo ricorso ai fatti ben noti di trigonometria?

La cosa è piuttosto lunga (e noiosa), ma non è concettualmente difficile!

1) Si possono costruire le serie delle funzioni seno e coseno senza usare le derivate utilizzando solo opportune proprietà delle funzioni circolari, e cioè il fatto che il seno è una funzione dispari, il fatto che il coseno è una funzione pari e le formule di somma.
Memorizzare questo fatto! La serie delle funzioni seno e coseno hanno i coefficienti tali che risulta:
a) $sin(–x) = –sin(x)$ e $cos(-x) = cos(x)$;
b) $sin(x + y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)$ e $cos(x+y) = cos(x)·cos(y) – sin(x)·sin(y)$.

2) Note le serie di potenze, si trova subito che la deriva del seno è il coseno, che la derivata del coseno è l'opposto del seno e che la derivata seconda è l'opposto della funzione stessa.

3) Tenendo conto di ciò, siccome per x piccolo il coseno (che è 1 per x = 0) è positivo, il seno è crescente, e quindi positivo (e piccolo per x piccolo).
Ma siccome il coseno ha per derivata l'opposto del seno, il coseno è inizialmente decrescente.
Allora la derivata del seno cala, cioè il seno cresce si ma sempre di meno fino ad avere un massimo e poi cominciare a calare. Ma allora lì dove il seno è massimo la sua derivata, cioè il coseno, si annulla.
Chiamiamo p/2 il valore di x dove si annulla il coseno ed è massimo il seno (senza per ora sapere quanto vale p).
Memento: cos(p/2) = 0.
Con ciò abbiamo:
$sin(p) = sin(p/2 + p/2) = 2sin(p/2)·cos(p/2) = 2·sin(p/2)·0 = 0.
Memento: sin(p) = 0; sin(p/2) = <massimo>

4) Abbiamo ancora:
$1 = cos(0) = cos(p - p) = cos^2(p) + sin^2(p) = cos^2(p) + 0 ⇒ |cos(p)|=1$
e anche
$cos(p) = cos(p/2 + p/2) = 0 – (sin(p/2)]^2 < 0$
per cui
$cos(p) = –1$ e $sin(p/2) = 1$.
Ancora:
$cos(2p) = cos^2(p) – sin^2(p) = (-1)^2 – 0^2 = 1$.
$sin(2p) = 2sin(p)·cos(p) = 2·0·(-1) = 0$.
Memento: $sin(2p)=0$ e $cos(2p) = 1$.

5) Allora la faccenda della periodicità è fatta perché
$sin(x + 2p) = sin(x)·cos(2p) + cos(x)·sin(2p) = sin(x)·1 + cos(x)·0 = sin(x)$.
$cos(x+2p) = cox(x)·cos(2p) – sin(x)·sin(2p) = cos(x)·1 – sin(x)·0 = cos(x)$.

6) Resta da trovare quanto vale p.
Dalla formula di somma viene quella di duplicazione ed invertendo questa si ha quella di bisezione.
Ripetendo la formula di bisezuine partendo da sin(p/2) = 1 si trova
$sin(p/(2^n)) = sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+...sqrt(2))))/2$ dove nel numeratore ci stanno n-1 "due".
Siccome il limite di sin(x)/x al tendere di x a zero vale 1, si trova che p è il limite del prodotto di 2^n per quel radicale del numeratore di sin(p/2^n) dove dopo il primo "due" c'è un "meno" e poi tutti "più" per complessivi n-1 "due".
Insomma, occorre continuare come segue:
$p_0 = 2·sin(p/2) = 2$;
$p_1 = 4·sin(p/4) = 2sqrt(2) ≈ 2,8284...$;
$p_2= 8·sin(p/8) = 4sqrt(2 -sqrt(2)) ≈ 3,0614 ...$;
$p_3= 2^4·sin(p/(2^4)) = 2^3·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2))) ≈ 3,1214 ...$;
$p_4= 2^5·sin(p/(2^5)) = 2^4·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))) ≈ 3,1365 ...$;
---
$p_7= ... = 2^7·sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))))))) ≈ 3,1415...$
---
$p_11 = ... 3,141592348...
...
Teoricamente, $p = p_∞ = π$
_______