Somma di variabili casuali con uguale distribuzione

[Rabelais]

Ciao! Il programma d'esame di probabilità che dovrò affrontare, per quanto riguarda la parte sul discreto, comprende le seguenti distribuzioni:
- discreta uniforme
- bernoulli
- binomiale
- geometrica
- poisson
Ora, nel testo d'esame con probabilità 1 sarà presente un quesito di questo genere:
"trova il tipo di distribuzione della variabile casuale ..."
dove al posto dei ... potrebbe esserci $X+Y$ come pure $1/n \sum X_i$ ecc. quindi sto cercando di prepararmi studiando come si comportano variabili casuali di varie distribuzioni in casi come questi.
Quello che ho scoperto fin ora è:
- la somma di due v.c. poissoniane indipendenti è ancora di poisson
- la somma di due v.c. binomiali indipendenti è ancora una binomiale
- la somma di due v.c. di bernoulli indipendenti è una binomiale
Nell'esame è necessario saper dimostrare questi risultati, usando le funzioni di probabilità oppure usando le funzioni caratteristiche, ma il prof preferisce con le proabilità, ovvero una cosa di questo tipo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Date $X~\text{Binomiale}(n,p)$ e $Y~\text{Binomiale}(m,p)$ indipendenti, si ha che:
$P(X+Y=k) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i,Y=k-i) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i)P(Y=k-i) = \sum_{i=0}^{k} ((n),(i))p^iq^(n-i)((m),(k-i))p^(k-i)q^{m-(k-i)} = p^kq^{(n+m)-k} \sum_{i=0}^{k} ((n),(i))((m),(k-i)) = ((n+m),(k))p^kq^{(n+m)-k}$

Dunque $(X+Y)~\text{Binomiale}(n+m,p)$

I tre risultati che ho scritto li so dimostrare con questo metodo, poi stavo provando con la somma di due geometriche indipendenti e sono arrivato a:
$P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^{k} P(X=i)P(Y=k-i)=\sum_{i=0}^{k} pq^(i-1)pq^(k-i-1)=p^2q^(k-2)\sum_{i=0}^{k}1=p^2q^(k-2)(k+1)$
che però non mi sembra una geometrica o sbaglio ?
Inoltre, per quanto riguarda la somma di due v.c. discrete uniformi cosa si può dire ?
Poi, se invece della somma considero la differenza tra v.c. valgono gli stessi risultati che ho trovato ? Mi viene da dire di no, ad esempio con la differenza di due geometriche non mi sembra che esce una geometrica.
Infine, ci sono altre operazioni tra v.c. con risultati interessanti ? Ad esempio il prodotto tra due v.c. con stessa distribuzione ?
Ringrazio molto chi mi saprà aiutare

[Rabelais]

Ho sbagliato i conti nella somma di geometriche ?

[tommik]

è talmente banale come errore....

la distribuzione geometrica può essere definita in due modi....a seconda che il dominio sia $0,1,.....$ oppure $1,2,...$

Ciò in quanto si possono contare il numero di insuccessi oppure il numero di prove prima di avere un successo. Tu l'hai definita nel primo modo, ovvero con supporto $x=0,1,....$

in questo caso la pmf è $P(X=k)=pq^k$ e non $pq^(k-1)$ (che ovviamente non ha senso per $k=0$)

Quindi a conti fatti ottieni $P(Z=k)=(k+1)p^2q^k$


anzi...in generale ottieni che

$P(Z=k)=((k+n-1),(k))p^nq^k$

dove $Z=sum_(i=1)^(n)X_(i)$ dove le x sono tutte geometriche iid

[Rabelais]

Azz è vero grazie anche questa volta!