Gruppo di Picard della famiglia universale delle coniche piane

[Epimenide93]

Il seguente è l'esercizio 18.4.M in Vakil - The rising sea, versione del 29 dicembre 2015.

In quanto segue $k$ è un campo fissato qualsiasi e tutto avviene nella categoria dei $k$-schemi.

Sia $\mathcal C \subseteq \mathbb P ^2 \times \mathbb P ^5$ lo schema definito dall'equazione $$ a_{00} x_0^2 + a_{01} x_0 x_1 + \cdots + a_{22} x_2^2 = 0$$ dove le $x_i$ sono le coordinate omogenee di $\mathbb P ^2$ e le $a_{ij}$ sono le coordinate omogenee di $\mathbb P^5$. Lo schema $\mathcal C$ ha una proiezione naturale $\mathcal C \to \mathbb P ^2$ (essendo un sottoschema chiuso di $\mathbb P ^2 \times \mathbb P ^5$).

Qual è il significato geometrico di tale proiezione?

L'esercizio richede quanto segue:
Interpretare $\mathcal C$ come un $\mathbb P ^4$-bundle su $\mathbb P ^2$, quindi dimostrare che $\mathcal C$ è una varietà liscia di dimensione $6$ e che \(\operatorname{Pic} \mathscr C \cong \mathbb Z \times \mathbb Z\).

Sul fatto che $\mathcal C$ sia una varietà liscia non dovrebbero esserci problemi (criterio di Jacobi). Che abbia dimensione $6$ e che le fibre della proiezione di cui sopra siano isomorfe a $\mathbb P ^4$ mi è chiaro intuitivamente (ragionando in termini di gradi di libertà), ma non saprei dimostrarlo con tutti i crismi. Sul calcolo del gruppo di Picard sono in alto mare.

[j18eos]

Io inizierei dalla definizione di sottoschema chiuso, poi passerei alla definizione di fibra di un morfismo, e farei un paio di considerazioni.

Scusami, ma non riesco a scrivere i dettagli!

[killing_buddha]

Io userei un teorema preliminare e poi farei il conto, a quel punto è facile concludere.