serie con parametro reale

[valerio1996]

punto 1 Studiare la successione ${sqrt(n^2 + a^2) -n}, n= 0,1,2,3,.....a in RR$

punto 2 stabilire il carattere di $sum_(n=0)^(+infty) sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)$

per il punto 1 si può osservare che ${sqrt(n^2 + a^2) -n}$ è asintotico a $a^2/(2n)$ per $n rarr +infty$

per il secondo punto si può notare che la serie $sum_(n=0)^(+infty) sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)$ risulta essere a segni
alterni difatti $ sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi) = sin((1 + a^2/n^2)*npi)$ ora si può notare che $sin(npi)$ risulta $0 AA n in NN$
e la quantità $(1 + a^2/n^2)$ tende a $1$ e per $a^2<n$ la serie risulta a serie alterni.

ora visto che mi trovo di fronte ad una serie alternata decido di utilizzare il criterio di liebniz pur tuttavia decido di
considerare $|sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)| $ esso risulta uguale a $(-1)^n *sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi$ e di applicare alla seguente serie:

$sum_(n=0)^(+infty) (-1)^n sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)$ ora la mia domanda se applico il criterio su quest ultima serie
quindi con termine generale $|sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)|$ e determino che essa converge quindi assolutamente
dimostro che converge anche la serie di termine generale $sin(sqrt(n^2 + a^2)*pi)$ ?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il secondo punto, le tue argomentazioni contengono non poche imprecisioni e inesattezze. Ad ogni modo, se vuoi studiarne la convergenza assoluta, ti conviene procedere nel modo seguente:

$|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|=$

$=sqrt(1-cos^2(\pisqrt(n^2+a^2)))=$

$=sqrt(1-cos^2(\pinsqrt(1+a^2/n^2)))=$

$=sqrt(1-cos^2(\pin+(\pia^2)/(2n)+o(1/n)))=$

$=sqrt(1-[cos(\pin)cos((\pia^2)/(2n)+o(1/n))-sin(\pin)sin((\pia^2)/(2n)+o(1/n))]^2)=$

$=sqrt(1-cos^2((\pia^2)/(2n)+o(1/n)))=$

$=sqrt(1-[1-(\pi^2a^4)/(8n^2)+o(1/n^2)]^2)=$

$=sqrt((\pi^2a^4)/(4n^2)+o(1/n^2))=$

$=(\pia^2)/(2n)+o(1/n)$

Insomma, la serie non converge assolutamente.

[valerio1996]

Ciao e grazie mille per la risposta in effetti mi sono reso conto di aver scritto un po di cavolate ahahaha

volevo chiederti però una cosa, nell eserciziario da cui ho preso questo esercizio c'è parte della risoluzione

si afferma che poichè $ sqrt(n^2 + a^2) - n$ è asintotico a $a^2/(2n)$

allora si ha definitivamente che $0<= (sqrt(n^2 + a^2) - n)*pi <= (a^2/n)*pi $ e quindi la serie è a segni alternati per

$a^2/n < 1$ e inoltre $lim_(n->+infty) sin((n^2 +a^2)*pi) $ tende a $0$

dopodichè si afferma che $(sqrt((n^2 +a^2)) - n)/((sqrt((n+1)^2 +a^2)) - (n+1)) > 1 $ e quindi la differenza

$sqrt((n^2 +a^2)) *pi - n *pi $ è monotona decrescente e quindi $|sin (sqrt((n^2 +a^2)) *pi) |$ è monotona e quindi la
serie converge

i punti che non mi sono chiari di questa dimostrazione sono il perchè la serie è alternata in particolare

la condizione $a^2/n < 1$

e il perchè dalla monotonia di $sqrt((n^2 +a^2)) *pi - n *pi $ e quindi di $|sin (sqrt((n^2 +a^2)) *pi) |$
deriva la convergenza della serie

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo chiarimento, sviluppando l'argomento del seno per $[n rarr +oo]$:

$[\pisqrt(n^2+a^2)=\pinsqrt(1+a^2/n^2)=\pin+(\pia^2)/(2n)+o(1/n)]$

Inoltre:

$AA n in NN: [\pisqrt(n^2+a^2)-\pingt0] rarr AA n in NN: [(\pia^2)/(2n)+o(1/n)gt0]$

$AA n in NN: [\pisqrt(n^2+a^2)-\pin-(\pia^2)/(2n)lt0] rarr AA n in NN: [o(1/n)lt0]$

Quindi:

$[a^2/nlt1] rarr [(\pia^2)/(2n)lt\pi/2] rarr [(\pia^2)/(2n)+o(1/n)lt\pi/2]$

Insomma:

$[a^2/nlt1] rarr [0lt(\pia^2)/(2n)+o(1/n)lt\pi/2]$

e si può essere sicuri che l'argomento del seno, $[\pin+(\pia^2)/(2n)+o(1/n)]$, cada alternativamente nel primo e nel terzo quadrante.

Per quanto riguarda il secondo chiarimento, in base al risultato di cui sopra:

$[a^2/nlt1] rarr sin(\pisqrt(n^2+a^2))=(-1)^n|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|$

Per applicare il criterio di Leibniz, è necessario dimostrare che:

$\lim_{n rarr +oo}|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|=0$

e che la successione $|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|$ è decrescente. Mentre la prima parte non presenta alcun ostacolo:

$\lim_{n rarr +oo}|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|=\lim_{n rarr +oo}(\pia^2)/(2n)+o(1/n)=0$

la seconda è più articolata. Non ho capito se devo illustrarla.

P.S.
Non sto seguendo alla lettera il procedimento che hai postato, anche perché non pensavo che il primo esercizio fosse, in qualche modo, collegato al secondo. Spero possa andare bene lo stesso.

[valerio1996]

innanzi tutto ti rigrazio per la risposta inoltre se ce la faresti a mostrarmi che la successione $|sin(pi*sqrt(n^2 + a^2))|$
è decrescente perchè è proprio quella parte che non riesco a dimostrare

mille grazie

[anonymous_0b37e9]

Intanto:

$|sin(\pisqrt(n^2+a^2))|=$

$=|sin[\pin+(\pisqrt(n^2+a^2)-\pin)]|=$

$=|sin(\pin)cos(\pisqrt(n^2+a^2)-\pin)+cos(\pin)sin(\pisqrt(n^2+a^2)-\pin)|=$

$=sin(\pisqrt(n^2+a^2)-\pin)$

dove, nell'ultimo passaggio, non è necessario il valore assoluto perché $[0lt\pisqrt(n^2+a^2)-\pinlt\pi/2]$. Inoltre:

$[\pisqrt(n^2+a^2)-\pingt\pisqrt((n+1)^2+a^2)-\pi(n+1)] hArr$

$hArr [sqrt(n^2+a^2)+1gtsqrt((n+1)^2+a^2)] hArr$

$hArr [n^2+a^2+1+2sqrt(n^2+a^2)gtn^2+2n+1+a^2] hArr$

$hArr [sqrt(n^2+a^2)gtn] hArr$

$hArr [a^2gt0]$

In definitiva:

$[\pisqrt(n^2+a^2)-\pingt\pisqrt((n+1)^2+a^2)-\pi(n+1)] rarr$

$rarr [sin(\pisqrt(n^2+a^2)-\pin)gtsin(\pisqrt((n+1)^2+a^2)-\pi(n+1))]$