Spira in campo magnetico e gravitazionale.

[ennedes]

Una spira conduttrice quadrata di lato l e massa m e resistenza R giace in un piano verticale (x, z) ed è immersa in un campo magnetico parallelo all'asse y, il cui modulo cambia secondo la vegge B=kz. Al tempo t=0 la spira viene lasciatacadere e si osserva che dopo un tempo t1 la sua accelerazione vale 0.135g (con g gravità). Calcolare valore della resistenza e velocità di regime della spira.

Come procedo? Mi ero ritrovata con un'equazione in cui avevo sia l'incognita R sia della corrente...

[RenzoDF]

Direi che a occhio la sequenza potrebbe essere: fem > corrente > forza > accelerazione > equazione differenziale primo ordine in v > funzione v(t) > accelerazione a(t) > da a(t1)=0.0135g ricavi R > da R la velocità a regime.

[ennedes]

Come ricavo la corrente senza avere la resistenza?

[RenzoDF]

La lasci indicata, visto che andrai a ricavarla solo nell'ultimo passo, o meglio risolvi simbolicamente, i valori numerici li determini successivamente.

[ennedes]

Grazie mille. Potresti, per favore, ampliare questo procedimento?

equazione differenziale primo ordine in v > funzione v(t) > accelerazione a(t)

[RenzoDF]

... Potresti, per favore, ampliare questo procedimento?

Direi che potresti provare tu, poi io ti darò di certo una mano quando ti bloccherai.

[ennedes]

$phi(B) = int_(l)^() B\cdot dl^2 $

$epsilon = - (dphi(B))/(dt) $

$i= epsilon/R$

$iBl^2=ma -> a= (iBl^2)/m$

[RenzoDF]

Mi sembra ci sia qualcosa che non va in quelle relazioni, ad ogni modo tanto per cambiare, scriverei la forza elettromotrice come differenza fra quelle indotte nei due lati che cadendo tagliano le linee di forza (indicando con $v$ il modulo della velocità di caduta),

$|\epsilon|=B(z+l)l v -B(z)l v=kl^2 v $

e quindi l'equazione differenziale

$\dot{v}= g- \frac{ F(z+l)-F(z) }{m} = g- \frac{ B(z+l)li-B(z)li }{m} =g-\frac{K^2\ l^4\ v}{mR} $

Lascio a te continuare.

[ennedes]

Questa sarebbe $m(dv)/(dt)= Fg + Fb$ giusto?

Non ci sarebbe un'altra via? Purtroppo le equazioni differenziali non le abbiamo ancora fatte.

[RenzoDF]

Si, o meglio, esplicitando la velocità nella forza frenante

$(dv)/(dt)=g-av$

che volendo può essere scritta

$(dv)/(g-av)=dt$

e che quindi può essere risolta via integrazione sui due membri, ricavando la costante di integrazione dalla condizione iniziale per la velocità.