Calcolo ordine di convergenza metodo del punto fisso

[Fra27]

Salve a tutti! Sto preparando l'esame di Calcolo Numerico e tra gli esercizi che riguardano metodi del punto fisso si chiede di discutere le proprietà di convergenza ( come ad esempio l'ordine) di un metodo del punto fisso applicato ad una funzione. Il problema è che io non riesco a capire come calcolare l'ordine di convergenza non sapendo la radice della funzione. C'è qualcuno che mi può aiutare? Grazie!!!

[seb]

Beh, diciamo che la radice, per un motivo o per un altro, la conosci. Potrebbe essere che la conosci addirittura analiticamente, ma vuoi rappresentarla in forma decimale (non è il tuo caso), oppure riesci a determinarla proprio grazie all'iterazione di punto fisso, che - sì - ne restituisce un'approssimazione, ma accurata a piacimento (entro la precisione di macchina, chiaramente). Ai fini computazionali, poi, i teoremi valgono per i numeri macchina.
Di maggior interesse sono i casi, invece, in cui è possibile stabilire l'ordine di convergenza senza nemmeno ricavare la radice, che quindi non è sempre necessario conoscere! Prendiamo ad esempio il seguente caso banale d'iterazione funzionale: \[x=\ln{x}+e^x\] Detta \(g(x)=\ln{x}+e^x\) (liscia), la sua derivata prima è: \[g'(x)=\frac{1}{x}+e^x\] che non si annulla mai, in particolare nel punto fisso; dunque il metodo iterativo ha convergenza lineare. Questo assicura per di più la convergenza locale.
Ho risposto? Vuoi porre qualche esempio?