Problema di geometria solida

[sunset10]

Una piramide quadrangolare regolare ha l'area di base di 288 cm^2 e ha gli spigoli inclinati di 60° sul piano della base. Calcola l'area della superficie totale e il volume.
Io ho calcolato il lato di base, che sarebbe pari a 12rad2 cm. Poi ho calcolato il semiperimetro per moltiplicarlo per l'apotema ed ottenere l'area laterale. Tuttavia, mi viene che l'apotema è pari a 6rad6 cm, mentre il libro dice che l'apotema deve essere pari a 12rad2 cm. Potreste aiutarmi a risolvere questo problema?
Grazie in anticipo.

[cooper]

svolgendo i calcoli (spero corretti) mi sembra che i risultati del libro siano errati. ma a dire il vero non mi ritrovo nemmeno con i tuoi. io ho fatto in questo modo:
il lato è pari, come giustamente hai calcolato, a $ 12sqrt(2) $ . Dato che gli spigoli sono inclinati il triangolo che deriva prendendo due vertici non consecutivi della base e il vertice della piramide è equilatero, e un suo lato è pari alla diagonale (che chiamo d) del quadrato di base che vale $ d=sqrt(2)*12sqrt(2)=24 cm $ l'altezza del triangolo equilatero coincide con l'altezza della piramide e sfruttando questo fatto fatto posso ricavare l'altezza utilizzando le formule per l'altezza di un triangolo equilatero: $ h=sqrt(3)/2d=12sqrt(3)cm $
se ora applico il teorema di pitagora per calcolare l'apotema ottengo: $ a=sqrt(d^2-(l/2)^2)=sqrt(576-72)=sqrt(504)=6sqrt(14)cm $
con questi dati trovi poi tutto ciò che ti serve.

[sunset10]

Ciao, grazie mille per la risposta. Avrei una domanda da farti: da dove deriva la formula dell'apotema che hai scritto nella tua risposta? Io avevo considerato l'apotema come l'altezza di una faccia della piramide.... Scusami per il disturbo e grazie ancora

[cooper]

Nessun problema! La definizione che hai dato di apotema è corretta. Ciò che usato è semplicemente il teorema di Pitagora. Sfruttando il fatto che nel nostro caso la lunghezza delle diagonali coincide con quella degli spigoli. Per cui applichi il teorema di Pitagora ad uno spigolo (segmento che congiunge il vertice ad uno dei lati della base) e a metà del lato della base. Spero di essermi spiegato! Immagina una faccia della tua piramide e applica il teorema di Pitagora a quel triangolo dive l'apotema è il cateto maggiore l'ipotenusa è uno spigolo ( o per noi diagonale) e il cateto minore è metà del lato del quadrato.

[giammaria]

@ sunset10
Sei sicuro che il testo dica che "ha gli spigoli inclinati di 60° sul piano della base"? L'apotema del libro verrebbe se dicesse che "ha le facce inclinate di 60° sul piano della base".
Aggiungo un consiglio: usa il tasto CITA nel penultimo messaggio di Cooper: in questo modo vedrai cosa ha digitato per scrivere le radici. Oppure vai a leggerlo in Vita da forum - Questioni tecniche - Come si scrivono le formule.

[sunset10]

Grazie ad entrambi per la disponibilità . Comunque, il libro dice proprio gli spigoli inclinati di 60°. Forse è proprio questo che mi ha fatto arrivare ad un risultato errato