Sottogruppi e sottogruppi normali

[Adrianorto]

@vict L'analogia tra scomposizione in numeri primi ed in cicli e' davvero forte, per ora (dovrei dare Algebra I a settmbre) ho capito solo che tale parallelismo esiste, stando moolto attenti : i cicli non necessariamente commutano ma solo se sono disgiunti ne siamo certi.

[Adrianorto]

I sottogruppi normali hanno cardinalita’ legata alle strutture cicliche del gruppo di cui fanno parte. Le strutture cicliche sono infatti classi di equivalenza rispetto ad una relazione detta di coniugio che e’ simile a quella che caratterizza i sottogruppi normali rispetto agli altri. Quindi i sottogruppi normali essendo sottogruppi avranno la cardinalita’ che divide quella del gruppo ed inoltre tale quantita’ dovra’ essere la somma di quella classi di equivalenza date dalle strutture cicliche. Queste seguono la formula | (n!/(n-r)!)/r| ,se sono semplici . Bastera’ allora scrivere le strutture cicliche con accanto la loro cardinalita’ per indentificare tutti e soli i possibili sottogruppi ciclici. In $ S_4 $ ci sono strutture cicliche di cardinalita’ : 1,3,6=4!/2!*1/2,8=4!*1/3,6=4!*(1/4) ( corrispondenti alle partizioni di 4: 4=4, 4=1+1+1+1, 4=3+1, 4=2+2, 4=2+1+1). I divisori di 24 (4!) che possono essere costituiti con queste cardinalita’ sono 4=3+1 ,12=8+3+1 come si vede la seconda contiene la prima che non mi pare sia un sottogruppo mentre il secondo e’ il sottogruppo alterno che potrebbe essere normale come in $ S_3 $ lo e' quello alterno.

[Pappappero]

Non ho capito i messaggi prima di quest'ultimo.

Comunque, in $S_n$ il sottogruppo alterno $A_n$ e' l'unico sottogruppo normale, e' un sottogruppo e ha indice $2$. Inoltre per $n \ge 5$ il gruppo alterno $A_n$ e' semplice, ovvero non contiene altri sottogruppi normali.