@georgian1
Guarda che la lunghezza richiesta non è 545, bensì 544.
Ciao ciao.
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Edito ... per penitenza. (gio. 29.09.2016 h: 11:40 circa),
OOPS! Chiedo scusa a georgian1 !
Ho sbagliato io il conticino. E' giusto 545.
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Non conoscevo la regoletta pratica che per avere tutti i sei spigoli tangenti ad una sfera occorre e basta che il tetraedro abbia le coppie di spigoli opposti a somma uguale, cioè
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Ho perciò considerato le distanze dei punti di tangenza dai vertici. Allora i 12 pezzi di spigolo, due per spigolo, prodotti dai 6 punti di tangenza sono di sole 4 lunghezze (che ho chiamato x, y, z e w).
Infatti, I tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice toccano la sfera in rispettivi tre punti equidistanti da quel vertice.
Se in un triangolo di lati
a, b e
c considero i punti di tangenza col cerchio inscritto trovo, per esempio
$a = y + z$
$b = z + x$
$c = x + y$
per cui
$x + y + z = (a + b + c)/2
e quindi
$a = y + z = x + y + z - x = p – x$ ⇔ $x = p - a$;
$b = z + x = x + y + z - y = p – y$ ⇔ $y = p - b$;
$b = z + x = x + y + z - y = p – y$ ⇔ $y = p - b$;
Insomma ...ho fatto qualche calcoletto in più rispetto alla regoletta $BD = (BC + DA) - CA$.
Ed evidentemente ho sbagliato qualche operazione, chissà quale.
Ma poi, mettendo lettere al posto di numeri, ho visto che la regoletta della costanza della somma degli spigoli opposti è proproio la deduzione riassuntiva di quel procedimento.
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Domanda ... con risposta più difficilina:
«Quanto è lungo il raggio di quella sfera [che sporge da ogni faccia del tetraedro]»?
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A ri-ciao!