[RISOLTO] Decomposizione in fratti semplici

[Caronte]

Chi mi può dare una mano a decomporre la seguente in fratti semplici?

$(1-x^2)^2/(x(1+x^2)^2)$

Ho provato in vari modi ma non riesco.. Il testo dice che deve risultare : $-1/x + (4t)/(1+x^2)^2$

[Caronte]

Forse ho risolto, mi vengono i risultati però cambiati di segno.. E' uguale??

$(1-x^2)^2/(X(1+x^2)^2)=(x^4-2x^2+1)/(x(1+x^2)^2)= A/x+(Bx+C)/(1+x^2)^2 = (A+2Ax^2+Ax^4+Bx^2+Cx)/(x(1+x^2)^2)$
$=> A=1, B=-4 => 1/x -(4x)/(1+x^2)^2$

[cooper]

non hai tenuto conto della molteplicità algebrica di $x^2+1$ (pari a 2).
la tua funzione si decompone nel seguente modo: $ A/x+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/((x^2+1)^2) $ , a te i calcoli per trovare le costanti A,B,C,D,E.

[Caronte]

Ho fatto il nuovo mcm con il relativo sistema, ma mi vengono gli stessi risultati di prima:

mcm: $(ax^4+2ax^2+a+bx^4+bx^2+cx^3+cx+dx^2+ex)/(x(x^2+1)^2)$

essendo il polinomio di partenza: $((1-x^2)^2)/(x(x^2+1)^2) = (x^4-2x^2+1)/(x(x^2+1)^2)$

sistema: ${ ( a+b=1),( c=0 ),( 2a+b+d=-2 ),( c+e=0 ),( a=1 ):} =>{ ( a=1),( b=0 ),( c=0 ),( d=-4 ),( e=0 ):}$

$=> \int 1/x dx -\int (4x)/((x^2+1)^2)dx$

Invece gli integrali dovrebbero venire con i segno opposti .... Consigli????

[tommik]

l'osservazione di Cooper è giustissima ed i risultati che hai trovato sono corretti:

$(1-x^2)^2/(x(1+x^2)^2)=1/x-(4x)/(1+x^2)^2$


(erano giusti anche prima, forse solo per puro caso) e lo potevi verificare semplicemente facendo i conti.

ora devi risolvere

$int(4x)/(1+x^2)^2dx$


come intenti fare?

PS: hai messo una x di troppo nell'ultimo integrale

[cooper]

non tieni conto della x quando risolvi la seconda e la terza frazione. dovrebbe essere:
$ (Ax^4+2Ax^2+A+x(x^2+1)(Bx+C)+x(Dx+E))/(x(x^2+1)) $

EDIT: ora è corretto il sistema ma sono sbagliati gli integrali. dai fratti semplici ottieni $ 1/x-(4x)/(x^2+1)^2 $ ora hai aggiunto la x per niente. il termine che ha la D ha come denominatore solo il quadrato di x^2+1
sostanzialmente devi integrare questa cosa:
$ int 1/x-(4x)/(x^2+1)^2 dx $
EDIT 2: mi ha preceduto tommik

[tommik]

EDIT 2: mi ha preceduto tommik

LOL

ora però il problema è questo


$int(4x)/(1+x^2)^2dx$


@Caronte: per me la via è chiarissima....per te?

[Caronte]

PS: hai messo una x di troppo nell'ultimo integrale

Nel foglio l'avevo scritto giusto l'integrale mi è scappata una x di troppo alla tastiera adesso correggo.. Fin qui dopo un po ci sono arrivato! Adesso il problema è che tutto questo non doveva risultare così ma:

$\int -1/x + (4x)/(x^2+1)^2 dx$

[Caronte]

ora devi risolvere

$int(4x)/(1+x^2)^2dx$


come intenti fare?

$int(4x)/(1+x^2)^2dx = 2/(1+x^2) +c$

[tommik]

e chi lo ha detto?

è giusto il tuo. Basta che fai una verifica....


$1/x-(4x)/(1+x^2)^2=(1+x^4+2x^2-4x^2)/(x(1+x^2)^2)=(1-x^2)^2/(x(1+x^2)^2)$

$int(4x)/(1+x^2)^2dx = 2/(1+x^2) +c$

perfetto....hai solo sbagliato il segno....che poi diventerà giusto dato che abbiamo un meno davanti all'integrale

Ecco tutti i passaggi

$int(4x)/(1+x^2)^2dx=int2(1+x^2)^(-2)d(1+x^2)=2(1+x^2)^(-2+1)/(-2+1)=-2/(1+x^2)+C$