Serie di funzioni

[Cenzin]

Salve, ho questa serie di funzioni, in allegato, di cui bisogna studiare l'insieme di convergenza e la convergenza totale. Avrei bisogno di sapere se ho svolto bene l'esercizio.
In pratica, applicando il criterio di Leibniz, non riuscivo stranamente a studiarne il limite. Allora ho sfruttato la definizione di convergenza assoluta, secondo cui, se il valore assoluto della successione converge allora converge assolutamente (e quindi puntualmente) anche la serie di partenza. In valore assoluto (-1)^n diventa 1 quindi la serie si riduce a:

$\sum_{n=1}^infty ((x^2+x)^n)/((2^n)*(2*n-1)$ $<=$ $\sum_{n=1}^infty (1/2)^n$

che è una serie geometrica di ragione 1/2 che converge quindi con intervallo di convergenza tutto R. Visto che converge questa serie, allora converge assolutamente e puntualmente anche la serie di partenza. Per il criterio di Weierstrass c'è inoltre convergenza totale sempre in tutto R.
Spero di non aver detto baggianate, sono un po' all'inizio.
Grazie in anticipo a tutti.

[cooper]

su tutto l'asse dei reali non converge. prendi per esempio x=3 e la serie diverge.

[anonymous_0b37e9]

Se sei interessato alla convergenza assoluta, puoi utilizzare il criterio del rapporto:

$\lim_{n rarr +oo}|a_(n+1)|/|a_n|=\lim_{n rarr +oo}|x^2+x|^(n+1)/(2^(n+1)(2n+1))*(2^n(2n-1))/|x^2+x|^n=\lim_{n rarr +oo}(|x^2+x|(2n-1))/(2(2n+1))=|x^2+x|/2$

1. Converge assolutamente

$|x^2+x|/2lt1 hArr |x^2+x|lt2 hArr \{(x^2+x+2gt0),(x^2+x-2lt0):} hArr [-2ltxlt1]$

2. Non converge assolutamente

$|x^2+x|/2gt1 hArr |x^2+x|gt2 hArr x^2+x+2lt0 vv x^2+x-2gt0 hArr [xlt-2 vv xgt1]$

e nel caso in cui $[x=-2] vv [x=1]$ poiché, essendo $|a_n|=1/(2n-1)$, la serie si comporta come la serie armonica.

In definitiva, la serie converge assolutamente se e solo se $[-2ltxlt1]$. A questo punto, se sei interessato alla convergenza semplice, almeno nel caso in cui $[xlt=-2 vv xgt=1]$ sei costretto a procedere mediante il criterio di Leibniz, sempre che $[\lim_{n rarr +oo}a_n=0]$ perché, altrimenti, la serie non può convergere.

[Cenzin]

Sì, mi sono reso conto che avevo detto molte sciocchezze. Grazie per la risposta.
Una volta trovato l'intervallo di convergenza assoluta, vado a a sostituire a x prima -2 e poi 1 per vedere se con questi due valori la serie converge. Se converge per x=-2 e per x=1 vuol dire che i due estremi sono inclusi....ed è quello che mi trovo quindi l'intervallo di convergenza puntuale è [-2;1]
A questo punto, se è giusto quello detto fino ad ora, per la convergenza totale, uso Weierstrass cioè sostituisco a x l'estremo superiore del mio intervallo e valuto la serie risultante: se essa converge allora la serie di partenza convergerà totalmente. Giusto così?

[cooper]

weierstrass afferma che se riesci a maggiorare il temine generale della serie e se la serie di questo termine è convergenza, allora la serie di partenza converge totalmente.
maggiorare con l'estremo è corretto in questo caso per la funzione che hai. in generale non è detto che la successione che maggiora il termine generale sia quella calcolata nell'estremo.

[Cenzin]

Grazie. Alla fine mi sono ricondotto a una serie di potenze ponendo (x^2+x)=y, ho trovato raggio di convergenza=2, come intervallo di convergenza assoluta ]-2;1[ e come intervallo di convergenza puntuale [2;1] con tutti e due gli estremi compresi. Siccome il raggio di convergenza è maggiore di zero c'è convergenza uniforme in ogni compatto [x0-k;x0+k] con 0<k<2. E la convergenza totale? Come la trovo?
Se avessi un intervallo di convergenza tipo ]0;inf[ scriverei che c'è convergenza totale in ogni compatto [a;b] contenuto in ]0;inf[.....ma nel mio caso come è la situazione?

[anonymous_0b37e9]

Una volta trovato l'intervallo di convergenza assoluta ...

Veramente, poiché il criterio del rapporto non è dirimente quando:

$\lim_{n rarr +oo}|a_(n+1)|/|a_n|=1$

i valori $[x=-2] vv [x=1]$ devono essere sostituiti prima di determinare l'intervallo di convergenza assoluta, in questo caso, per decidere se gli estremi devono essere inclusi.

Poiché la serie converge assolutamente, quindi, anche semplicemente, se e solo se $[-2ltxlt1]$, è necessario studiare la convergenza semplice per $[xlt=-2 vv xgt=1]$. Tuttavia, prima di affidarsi al criterio di Leibniz, conviene verificare se:

$\lim_{n rarr +oo}a_n=0$

in quanto, nel caso in cui la condizione di cui sopra non sia soddisfatta, la serie non può convergere. Tra l'altro, questa verifica poteva essere fatta all'inizio dello svolgimento, anche se la maggior parte degli esercizi è ideata in modo tale che la condizione sia soddisfatta, per non concludere l'esercizio troppo velocemente.

Nel caso in esame, se $[xlt-2 vv xgt1]$, il seguente limite non esiste:

$\lim_{n rarr +oo}(-1)^n(x^2+x)^n/(2^n(2n-1))=\lim_{n rarr +oo}(-1)^n((x^2+x)/2)^n/(2n-1)$

in quanto $[(x^2+x)/2gt1]$.

Per concludere, è necessario esaminare il caso in cui $[x=-2] vv [x=1]$:

$a_n=(-1)^n1/(2n-1)$

e la serie risulta convergente proprio per il criterio di Leibniz.

Riassumendo:

1. La serie converge assolutamente, quindi, anche semplicemente, per $[-2ltxlt1]$

2. La serie converge semplicemente per $[x=-2] vv [x=1]$

3. La serie non converge per $[xlt-2 vv xgt1]$

P.S.
Il procedimento di cui sopra prescinde dalla conoscenza dei concetti di convergenza totale e di serie di potenze.