[RISOLTO] Consulenza su un integrale per sostituzione

[Caronte]

Sto risolvendo questo:

$\int dx/sqrt(x^2+4x+1)$ essendo $x^2+4x+1 = x^2+4x+4-4+1=(x+2)^2-3$ scrivo:
$\int dx/sqrt((x+2)^2-3)$ pongo $u=x+2$ e scrivo:
$\int (du)/sqrt(u^2-3)$ sostituisco con $u=sqrt(3)cosh(t)$ pertanto $du=sqrt(3)sinh(t)dt$ e scrivo (per mezzo delle sostituzioni iperboliche):
$\int (sqrt(3)sinh(t))/(sqrt(3)sinh(t)) dt = \int dt = t+c$ essendo $t=arccosh(u/sqrt(3))$ e allo stesso tempo $u=x+2$ risulta:
$arccosh(x+2)/sqrt(3)+c$.

L'ho controllato più volte e non vedo errori, ma wolframalpha dice che dovrebbe risultare:
$log(sqrt(x^2+4x+1)+x+2)$

Qualcuno sa dirmi qualcosa??

[gugo82]

Beh, il settore coseno iperbolico si può esprimere mediante un logaritmo... Hai provato a fare i conti?

[Caronte]

Si.. c'è un $sqrt(3)$ al denominatore di troppo

[gugo82]

Beh, ma il logaritmo ha certe proprietà... Non puoi usarle?

[Caronte]

mm non saprei.. posto i calcoli per ricondurre al logaritmo:

$.. =arccosh((x+2)/sqrt(3)) = log ((x+2)/sqrt(3)+sqrt(((x+2)/sqrt(3))^2-1))$

consideriamo solo il radicando:

$(x^2+4x+4)/3 -1 = (x^2+4x+1)/3$

quindi in conclusione ottengo:

$log ((x+2)/sqrt(3)+sqrt((x^2+4x+1)/3)) +c $

In più ho $sqrt(3)$ e il $3$ al denominatore sotto la radice.. Posso ancora fare qualcosa?

[sapo93]

Ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua

$log ((x+2)/sqrt(3)+sqrt((x^2+4x+1)/3)) +c = log (\frac{x+2+sqrt(x^2+4x+1)}{sqrt(3)}) +c $

e poi usi

$log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) $

ricordando che $- log(sqrt(3))$ è una costante ...

[tommik]

Io avrei risolto così:

$ int1/sqrt (u^2-3) du=int 1/sqrt (u^2-3) (u+sqrt (u^2-3))/(u+sqrt (u^2-3)) du=$

$ int (1+u/sqrt (u^2-3))/(u+sqrt (u^2-3)) du=log|u+sqrt (u^2-3)|+c $

In due pasaggi e senza tirare in ballo funzioni trigonometriche iperboliche

[Resilienza]

@tommik
il tuo è un ottimo approccio. Per curiosità: cos'altro avevi in mente oltre l'ottenere la derivata del denominatore al numeratore quando c'hai pensato? Vista così, su due piedi, mi sembra una manipolazione algebrica non proprio ovvia, a meno che non esista un metodo.

[Caronte]

Io avrei risolto così:

$ int1/sqrt (u^2-3) du=int 1/sqrt (u^2-3) (u+sqrt (u^2-3))/(u+sqrt (u^2-3)) du=$

$ int (1+u/sqrt (u^2-3))/(u+sqrt (u^2-3)) du=log|u+sqrt (u^2-3)|+c $

In due pasaggi e senza tirare in ballo funzioni trigonometriche iperboliche

Mi piace un sacco come l'hai risolto mi sa che userò spesso questo metodo! Complimenti