Grazie in anticipo
Date due v.a. $X$ e $Y$ con pdf congiunta data da
$f_(X|Y)(x|y)=ye^(-xy)u(x)u(y)$
dove la funzione $u(*)$ denota in gradino unitario e sia $Y ~U(1,2)$:
1) Calcolare la media e la varianza della v.a. $X$
2) Calcolare il coefficiente di correlazione tra $X$ ed $Y$
PRIMO PUNTO
[Denoto con $E(*)-=mu(*)$ la media, per semplicità di scrittura]
Per il calcolo della media di $X$ utilizzo il teorema della media condizionata, cioè calcolo $E[X]=E_(Y)E[X|Y]$ visto che so che la distribuzione $X|Y~Ex(y)$. Da questo ottengo:
$E[X]=E_(Y)E[X|Y]=E_(Y)[1/y]=\int_(1)^(2) 1/y dy=ln(2)$
Per il calcolo del v.q.m. opero allo stesso modo ed ottengo:
$E[X^2]=1$
e di conseguenza la varianza sarà:
$sigma_(X)=var(X)~=0.52$
SECONDO PUNTO
Indicando con $rho$ il coefficiente di correlazione, ho quanto segue:
$rho_(XY)=(C_(XY))/(sigma_X sigma_Y)$
$C_(XY)=R_(XY)-mu_X mu_Y=E[XY]-E[X]E[Y]$
dove:
$E[Y]=3/2$
$E[X]=ln(2)$
$E[XY]=1$
$sigma_X=sqrt(var(X))=sqrt(0.52)~=0.71$
Come calcolo ora la varianza (e dunque la deviazione standard) di $Y$
