[RISOLTO] Fratti semplici

[Caronte]

Come scompongo la seguente in fratti semplici:

$(2x)/(1+x)^2$?

Così: $a/(x+1) + b/(x+1)^2$ oppure così: $a/(x+1) + (bx+c)/(x+1)^2$

Potreste gentilmente anche spiegarmi le regole da seguire per scomporre in fratti semplici? non è la prima volta che rimango bloccato per questa cosa ...

[axpgn]

I fattori che compongono il denominatore sono di primo o secondo grado ?
Se sono di primo grado usa il primo metodo altrimenti l'altro ...

[Caronte]

Quindi in questo caso essendo di secondo grado dovrei usare il secondo metodo?

[axpgn]

Ma perché ... ...

I "fattori" di cui parliamo sono "polinomi" di primo o secondo grado; in questo caso hai un solo fattore che è un polinomio di primo grado quindi ...

[tommik]

Questi fratti immediati però li devi fare a mente
.

Visualizzi mentalmente

$(2x)/(x+1)^2=?/(x+1)+?/(x+1)^2$

E vedi che al numeratore devi avere

$2x+2-2$

Quindi l'unica possibilità è

$(2x)/(x+1)^2=2/(x+1)-2/(x+1)^2$

[Caronte]

Questi fratti immediati però li devi fare a mente

Nel senso di farmi il mcm e il sistema a mente visto che sono facili o c'è un modo per "visualizzarlo" subito?

[tommik]

Basta un colpo d'occhio. Se però devi risolvere quel l'integrale non serve usare i fratti semplici.
Basta osservare che

$ int (2x)/(x^2+2x+1) dx=int (2x+2-2)/(x^2+2x+1) dx=$

$=log (x+1)^2-2 int 1/(x+1)^2dx $

E quindi è finito, senza fare praticamente alcun conto

[Caronte]

Perfetto, gentilissimo come sempre!! Devo riuscire ad acquistare la capacità di trovare la via più adeguata per svolgere gli integrali

[Caronte]

@tommik ritornando al discorso che non riesco a capire subito cosa devo applicare.. Stavo svolgendo questo:

$\int dx/(4sinx+3cosx)$ e l'esercizio (essendo già svolto) mi dice di sostituire $tan(x/2)$ con $t$. Ma come ci si arriva a pensare a questa soluzione??

[Resilienza]

Se ci arrivi è perché sai di voler fare qualche sostituzione e quindi provi a vedere anche le equazioni parametriche dopo aver rispolverato tutte le identità trigonometriche che conosci. In realtà è una di quelle cose che devi aver visto e che ti devi ricordare per un eventuale esame.

Poi volendo ragionare oltre l'università e facendone una questione di sfida personale, sappi che quello non è l'unico metodo: volendo puoi esprimere un'espressione $Asinx + Bcosx$ nella forma $Csin(x + k)$ ricordandoti che $sin(x + k) = sinxcosk + cosxsink$ e impostando un sistema. L'idea è fare una manipolazione algebrica per ridurre l'integrale a una forma abbordabile.