relazione antisimmetriche e antiriflessive

[nereide]

Sia S un insieme non vuoto. Una relazione binaria R in S si dice anti simmetrica se per ogni coppia (x,y) di elementi di S, se x è in corrispondenza R con y, y non lo è con x. Provare che una relazione transitiva R in S è antisimmetrica se e soltanto se è antiriflessiva.
Io ho provato per assurdo supponendo che non sia antisimmetrica. In tale caso esistono x e y tali che se x è in relazione con y, y lo è con x. Ma potrei scegliere y = x ed otterrei quindi che per la non antisimmetria x è in relazione con x. Questo contraddice l'ipotesi di antiriflessività. Dunque la tesi è verificata. Dubito sia giusto perché non ho usato il fatto che la relazione deve essere transitiva. Mi aiutate? Grazie

[pusheen]

Però la relazione identica è sia transitiva sia antisimmetrica, ma non è antiriflessiva. Mi sbaglio?

[nereide]

Dire che la relazione identica non sia antiriflessiva vuol dire che esiste un elemento x che sia in corrispondenza con se stesso (non che tutti lo siano). Ciò implica che nella relazione identica potrebbero esserci comunque degli elementi che non siano in corrispondenza con se stessi. Ciò non è possibile, visto che l'identica è un esempio di relazione riflessiva in cui qualsiasi sia l'elemento, esso è sempre in relazione con se stesso.
In sostanza, dire che una relazione non è antiriflessiva, non vuol dire che sia riflessiva.
Non so se sto dicendo baggianate, mi auguro di no

[G.D.]

Innanzitutto la prova non è completa. Si vuole infatti provare che una relazione binaria transitiva \( \mathfrak{R} \) su un insieme \( S \) è antisimmetrica se e solo se è antiriflessiva, i.e. si vuole provare che:

(1) se \( \mathfrak{R} \) (transitiva) è antisimmetrica, allora \( \mathfrak{R} \) è antiriflessiva;
(2) se \( \mathfrak{R} \) (transitiva) è antiriflessiva, allora \( \mathfrak{R} \) è antisimmetrica.

Con la tua prova per assurdo hai attaccato solo (2) e non (1). La prova non è buona: l'errore logico c'è, anche se è sottile. Tuttavia la strada non è completamente sbagliata: siano \( x \) e \( y \) elementi di \( S \) con \( x \neq y \) (non è possibile prendere \( x = y \) perché altrimenti la negazione dell'antiriflessività è un assurdo imposto e non ottenuto) tali che \( x \mathfrak{R} y \) e sia (assumendo come ipotesi per assurdo la negazione dell'antisimmetria della relazione) anche \( y \mathfrak{R} x \); allora sia ha \( x \mathfrak{R} y \) e \( y \mathfrak{R} x \) da cui, per la transitività di \( \mathfrak{R} \), segue che \( x \mathfrak{R} x \), che è un assurdo per l'ipotesi di antiriflessività.

A te proseguire con la (1).

[nereide]

Chiarissimo, grazie!
Con la 1) ho provato in maniera analoga: per assurdo suppongo che x sia in relazione con x. Poiché però la relazione è transitiva, dovrebbe verificarsi necessariamente che x R y e y R x, ma questo nega l'antisimmetria. Ho commesso ancora errori logici? D:

[G.D.]

Per quanto riguarda la (1) io credo che sia proprio sbagliata la richiesta. Infatti le relazioni d'ordine si dividono in relazioni d'ordine stretto e relazioni d'ordine largo. Le prime sono antiriflessive, antisimmetriche e transitive, le seconde sono riflessive, antisimmetriche e transitive.