Mostrare che due sottogruppi coincidono

[feddy]

Verificare che l’insieme $G = {(a, b) | a, b in R, a != 0}$ con prodotto $(a, b)(c, d) = (ac, ad + b)$ è un gruppo.
1. Dimostrare che $H = {(a, 0) | a in R \ {0}}$ è un sottogruppo di G, e che $K = {(1, b) | b in R}$ è un sottogruppo normale di $G$.
2. Sia $N$ un sottogruppo non banale di $K$. Mostrare che se N è normale in $G$ allora $N = K$


SOL.

Sono riuscito a dimostrare il primo punto e a verificare che sia effettivamente un gruppo con elemento neutro $(1,0)$ e elemento inverso $(1/a,-b/a)$.

Per mostrare che $N=K$:

i) N normale in G, cioè $(a,b)(c,d)(1/a,-b/a) = (c,-bc+ad-b)$

Quindi gli elementi di $N$ sono tutti della forma $(c,*)$, dove con $*$ intendo qualcosa che sta in $RR$.

ii)N $ <= $ K, cioè dati $(c,e) in N$ e $(c,f) in N$, allora si ha per definizione di sottogruppo:
$(c,e)(1/c,-f/c)=(1,-f+e)$

L'ultima coppia appartiene quindi a N (per ipotesi), ma anche a $K$, poiché gli elementi di $K$ hanno proprio quella forma.

Dati due elementi di $K$: $(1,h)$,$(1,k)$ si ha:

$(1,h)(1,-k)=(1,h-k)$ e quindi stanno in $K$ ma anche in $N$( per quanto mostrato prima).

Questo conclude che $N=K$.

E' corretto?

[vict85]

Verificare che l’insieme $G = {(a, b) | a, b in R, a != 0}$ con prodotto $(a, b)(c, d) = (ac, ad + b)$ è un gruppo.
1. Dimostrare che $H = {(a, 0) | a in R \ {0}}$ è un sottogruppo di G, e che $K = {(1, b) | b in R}$ è un sottogruppo normale di $G$.
2. Sia $N$ un sottogruppo non banale di $K$. Mostrare che se N è normale in $G$ allora $N = K$


SOL.

Sono riuscito a dimostrare il primo punto e a verificare che sia effettivamente un gruppo con elemento neutro $(1,0)$ e elemento inverso $(1/a,-b/a)$.

Fin qui mi sembra tutto ok, il primo punto non lo hai tralasciato perché non avevi dubbi?

Prima di iniziare il punto 2 direi che è spesso utile capire con cosa hai a che fare. In particolare hai che \(\displaystyle (1,a)(1,b) = (1,a+b) \) con elemento neutro \(\displaystyle (1,0) \) e inverso \(\displaystyle (1,a)^{-1} = (1,-a) \). La prima cosa che è importante osservare è che il prodotto è commutativo in \(\displaystyle K \), la seconda è che è "banalmente" isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R} \) con la somma. Veniamo quindi alla tua risoluzione.

Per mostrare che $N=K$:

i) N normale in G, cioè $(a,b)(c,d)(1/a,-b/a) = (c,-bc+ad-b)$

Quindi gli elementi di $N$ sono tutti della forma $(c,*)$, dove con $*$ intendo qualcosa che sta in $RR$.

Ok, questo aspetto è ok. Seppur la tua descrizione di cosa sia \(\displaystyle N \) (ovvero l'immagine di \((\mathbb{R},+)\) tramite l'immersione \(\displaystyle r\mapsto (c,r) \) per un qualche \(\displaystyle c\in\mathbb{R} \)) sia debole e andrebbe scritta formalmente. Sincemente io saprei partito direttamente dall'essere sottogruppo di \(\displaystyle K \). Ti spiego dopo perché.

ii)N $ <= $ K, cioè dati $(c,e) in N$ e $(c,f) in N$, allora si ha per definizione di sottogruppo:
$(c,e)(1/c,-f/c)=(1,-f+e)$

L'ultima coppia appartiene quindi a N (per ipotesi), ma anche a $K$, poiché gli elementi di $K$ hanno proprio quella forma.

Dati due elementi di $K$: $(1,h)$,$(1,k)$ si ha:

$(1,h)(1,-k)=(1,h-k)$ e quindi stanno in $K$ ma anche in $N$( per quanto mostrato prima).

Questo conclude che $N=K$.

E' corretto?

Si e no... Hai fatto fin troppi passaggi inutili per dire semplicemente che il primo elemento di ogni coppia contenuta in \(\displaystyle K \) è uguale a \(\displaystyle 1 \) (per definizione) e che quindi \(\displaystyle N \) è effettivamente \(\displaystyle K \).

Io avrei comunque osservato che siccome
\[\begin{align} (a,b)(1,c)(a^{-1},-ba^{-1}) &= (a,ac+b)(a^{-1},-ba^{-1}) \\
&= (aa^{-1},-ba^{-1}a + ac+b) \\
&= ( 1, ac )
\end{align}\]
allora ogni elemento di \(\displaystyle K \) (identità a parte) è coniugato ad ogni altro. Ovvero che per ogni \(\displaystyle (1,a) \) e \(\displaystyle (1,b) \) con \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R}-\{0\} \) allora \(\displaystyle (1,a) = (ab^{-1},0)(1, b)(ba^{-1},0) \).

[feddy]

ciao e grazie per la risposta !

Si l'ho tralasciato perché non ho dubbi e so essere corretto !

Mi rendo conto di aver fatto molti passaggi superflui, visto che dopo aver mostrato che $N$ ha il primo elemento di ogni coppia uguale a $1$ questo bastava per concludere.

Ho però ancora un dubbio:
-E' nella tua osservazione: hai mostrato che $N$ è normale in $G$,che vale per ipotesi, ma non capisco dove questo fatto venga usato/torni utile.

-Inoltre le ultime due righe da te scritte non riesco a capire cosa comportino... più che altro cosa intendi col termine "coniugato"?


Grazie mille

[vict85]

Che appartengono alla stessa classe di coniugio https://it.wikipedia.org/wiki/Classe_di_coniugio Mi stupisce che tu non abbia mai sentito il termine, lo si dovrebbe vedere insieme ai sottogruppi normali.

Ogni sottogruppo normale è unione disgiunta di classe di coniugio e viceversa se un sottogruppo è unione disgiunta di classi di coniugio quest'ultimo è normale. Il concetto che sto usando è che se un sottogruppo normale contiene un elemento allora contiene tutta la classe di coniugio di quell'elemento. Ti invito a provare a dimostrarlo.

[feddy]

Sinceramente ad oggi abbiamo affrontato argomenti fino al concetto di laterale e di gruppo quoziente... ma quello di classe di coniugio mai (abbiamo iniziato il corso 2 settimane fa).

Purtroppo tale argomento non l'ho ancora affrontato ma ti ringrazio per il link. Noto che questa relazione di equivalenza induce una partizione in classi di coniugio, proprio come la relazione di equivalenza $ x~ y<=> xy^-1 in H $ induce una partizione dell'insieme $G$ in classi di equivalenza dette laterali.

Provo a riscrivere la mia soluzione in modo più formale e meno "caotico".
Spero di non commettere errori perché il concetto di coniugio non dovrei usarlo per risolvere questo problema.

Ipotesi:

- $N$ sottogruppo non banale di $K$: $N<=K$.

- $N$ normale in $G$.

Tesi:

-$N=K$.

DIM:

Se $N$ è normale in $G$, allora preso un elemento $(a,b) in G$ e $(c,d) in N$ deve aversi che $(a,b)(c,d)(a^-1,-ba^1) = (c,-bc+ad-b)$.


[Questa sarebbe la classe di coniugio di $(c,d) in N$, giusto?
Quindi tu usi il fatto che dato che $K$ contiene ogni elemento del tipo $(1,c) in N$, allora contiene tutta la classe di coniugio di (1,c)]



$N$ dunque è l'immagine di $(R,+)$ tramite l'immersione $r↦(c,r)$ per un qualche $c in r$.


Per ipotesi si ha anche che $N<=K$ non banale, dunque per definizione di sottogruppo si ha che presi due elementi di $N$: $(c,e),(c,f) in N$ si ha $(c,e)(c,f)^-1 in N$.

Da cui $(c,e)(c^-1,-fc^-1)=(1,e-f)$. Ora da qui si deduce che ogni elemento di $N$ ha il primo elemento della coppia uguale a $1$ e per definizione, questo è proprio $K$.


Che ne dici, può andare ora ? Vorrei sapere se il mio ragionamento senza usare le classi di coniugio funziona lo stesso... perché tale esercizio nel testo che adotto è nel capitolo che non contiene classi di coniugio,orbite,ecc., che ho visto essere successivo


Grazie per l'attenzione.
Buonanotte!

[vict85]

Ho l'impressione che tu non abbia capito esattamente quale sia l'aspetto da dimostrare.

Tu hai per ipotesi che \(\displaystyle N\unlhd K\lhd G \). Siccome \(\displaystyle N \) è normale allora è banalmente verificato che \(\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N \subseteq K \). Ciò che devi dimostrare è che \(\displaystyle K\setminus N \) è vuoto. Mentre ho l'impressione che tu stia cercando di ridimostrare l'aspetto banale. La mia dimostrazione, espressa senza fare riferimento a parole che non conosci è così:

Supponiamo per assurdo che si abbia \(\displaystyle K\setminus N\neq \emptyset \), allora esiste \(\displaystyle \mathbf{x} = (1,r)\in K\setminus N \). Siccome \(\displaystyle N \) è non banale, esiste \(\displaystyle \mathbf{x} = (1,s)\in N \). D'altra parte ho che \(\displaystyle (rs^{-1},0)(1,s)(sr^{-1},0) = (rs^{-1},r)(sr^{-1},0) = (1,r) \in K\setminus N \) e allo stesso tempo \(\displaystyle (rs^{-1},0)(1,s)(sr^{-1},0) \in (rs^{-1},0)N(sr^{-1},0) \subset N \), ma questo è assurdo.

Se proprio non hai mai visto la scrittura \(\displaystyle gNg^{-1} \) puoi scrivere la stessa cosa in termini di laterali. Infatti hai che \(\displaystyle gxg^{-1} = y \Leftrightarrow gx = yg \). Ovvero prendi i due elementi, fai le due moltiplicazione e mostri che ti viene lo stesso risultato, e questo porta allo stesso assurdo.

Nota che \(\displaystyle K \) possiede sottogruppi non banali (la cardinalità dei suoi sottogruppi è almeno quella del continuo).

[feddy]

ciao vict85, grazie mille per la risposta ! Credo di esserci sul ragionamento e ho capito, l'unica cosa che riesco a "vedere" è nella seconda/terza riga della tua dimostrazione.

Perchè prendi proprio la coppia $(rs^-1,0)$ ?

Presumo tu stia mostrando che che $N$ è sottogruppo normale di $K\setminus N$, dato che $(rs^-1,0)^(-1) = (sr^-1,0)$, ma non riesco proprio a comprendere quell' $rs^-1$...

Quindi l'assurdo è dovuto al fatto che $(rs^{-1},0)(1,s)(sr^{-1},0)$ sta in $K\setminus N$ e allo stesso tempo in $N$ e pertanto è assurdo e deve aversi che $K\setminus N=\emptyset $

[vict85]

Ho preso quell'elemento perché è quello che fa funzionare il tutto. Insomma ho materialmente preso un elemento per cui succedeva quella particolare cosa.

[feddy]

Chiarissimo !

Perfetto grazie mille ora è tutto chiaro