probabilità di una proporzione campionaria

[milka2016]

In un processo produttivo viene estratto un campione casuale di 100 unità ogni quarto d'ora.
La proporzione teorica di prodotti non conformi è 0.03.
Quale sarebbe la probabilità che una proporzione campionaria di prodotti non conformi sia minore o uguale a 0.04?

Tra proporzione teorica e campionaria che differenza c'è?Posso usare il teorema del limite centrale?

[milka2016]

la proporzione campionaria è Y=$\frac{1}{100} $$ sum_(i = 1\ldots100) X_i $ e voglio calcolare P(Y<0.04)?

[milka2016]

nell'altro esercizio avevo media e deviazione standard esplicitate.Qui come posso ricavarle?

[tommik]

dunque si può procedere anche senza usare il limite centrale.

dato che su 100 arrivi ci sono teoricamente $100\cdot0.03=3$ guasti, la distribuzione può essere descritta da una poisson $Po(3)$ (legge degli eventi rari)

quindi la probabiltà che gli arrivi siano $k<=4$ si può calcolare facilmente con la distribuzione di Poisson:




Se invece volessi applicare il TLC, dato che $lambda=3$ è un po' bassino (ci piace quando è maggiore di 10) dobbiamo apportare una correzione di continuità, trovando

$P{X<=4}=P{z<=(4.5-3)/sqrt(3)}=P{z<=0.866}~=0.81$

che è una stima abbastanza buona.

Si potrebbe risolvere anche con altre distribuzioni (ad esempio la binomiale) trovando risultati quasi analoghi. Infatti, anche se $n=100$ è grande, per utilizzare bene l'approssimazione con la binomiale occorre che $np>=5$....qui abbiamo 3

ecco i dati esatti con la binomiale



e la sua approssimazione con il limite centrale (con la correzione per continuità per le ragioni sopraesposte)

$P(X<=4)=P{z<=(4.5-3)/sqrt(100\cdot0.03\cdot0.97)}=P{z<=0.8793}=0.8104$


ora hai tutta una carrellata di opzioni tra cui scegliere....direi che $81%$ è un buon risultato

saluti