applicazione lineare nello spazio dei polinomi

[mirco001]

Si consideri la funzione
$f : R2[x] → R2[x], p(x) ---> (-1/2 x^2 + 1/2 x +3/2) p''(x) + (3x + 2) p'(x) + p(x)$
determinare:
1. se f è lineare
2. f è un isomorfismo
3. f è semplice
non capisco come impostare l esercizio

[feddy]

i)

usa la definizione di applicazione lineare...

ii)
$f$ e' isomorfismo se tale applicazione e' biettiva. Ossia iniettiva e suriettiva... ti basta cercare il $ker$ e $Im$ di $f$ e facendo le opportune considerazioni puoi determinarlo.

[mirco001]

ciao feddy,
vorrei capire come esplicitare la funzione, come arrivare alla matrice associata

[feddy]

sfrutta l'isomorfismo tra $R^n[X]$ e $R^(n+1)$ rispetto alla base canonica.

per esempio il polinomio $x^2 + 2$ si puo scrivere come $[1,0,1]$ sfruttando questo fatto

Prova a guardare qui

[mirco001]

scusami davvero ma non riesco ad afferrare il concetto, potresti farmi un esempio prendendo il mio esercizio?
Grazie mille per la tua disponibilità

[feddy]

Ci sono molte discussioni su questo argomento in questa sezione. Prova a studiarti un po' l'esempio che ti ho mandato.

Ti invito anche a scrivere le formule in modo leggibile poiche' non si capisce benissimo la definizione di tale applicazione

[mirco001]

ho cercato ma non ne trovo di esercizi simili, dovrei fare la derivata?

[feddy]

Mi pare strano che anche nel web non ce ne siano... prova a scrivere qui il tuo svolgimento

[mirco001]

non so come scrivere le formule quindi ti mando una foto del mio ragionamento, non ho problemi per la linearità ma per trovare la matrice associata

[feddy]

Ok. Il segreto sta nel lavorare in coordinate rispetto ad una specifica base, che sarà quella canonica $xi $.

Per trovare una matrice associata è sufficiente disporre per colonne le immagini dei vettori della base canonica tramite l'applicazione.

Praticamente, ogni polinomio del tuo spazio può essere scritto in coordinate tramite un isomorfismo tra $R^2[X] $ e $R^(3) $.

Nel tuo caso quindi dovrai lavorare con vettori di $R^3$.