Trasformata di Fourier

[Krysbi]

Salve, sono nuovo su questo forum e volevo porre una domanda, purtroppo non avendo troppa confidenza col linguaggio usato per scrivere le formule vi cito il testo del problema e l'eventuale mio dubbio!

$ x(t)= (1-nt)(sca(t)-sca(t- 1/n)) $

Devo calcolare la trasformata di fourier di questa successione di funzioni
Inizio ponendo il seguente integrale in quanto $ sca(t)-sca(t- 1/n)$ rappresenta un rettangolo nel quale la funzione è "rinchiusa"
$ X= int_(0)^(1/n) (1-nt)*e^(-2piilambdat) dt $
Vado avanti con i calcoli e come risultato mi ritrovo

$ X= 1/(2piilambda) + (n*(e^((-2piilambda)/n)-1))/((-2piilambda)^2 $

La parte dopo dell'esercizio mi chiede però di verificare la continuità rispetto a $ lambda $ in $ lambda=0$ , per n fissato.
Tra l'altro so che $ int_(0)^(1/n) (1-nt)dt=1/(2n)$ e da quello che ricordo dovrebbe essere esattamente quello il valore della trasformata in quel punto ($lambda=0$ ). Mi chiedo perché invece a me non risulta così :/
Vi ringrazio infinitamente per l'aiuto!

[dissonance]

Si vede subito che hai sbagliato, perché $X$ non può dipendere da $t$, che è la variabile di integrazione. Ricalcola l'integrale.

[Krysbi]

Mi correggo, ho sbagliato a scrivere! il risultato che trovo è: $ X= 1/(2piilambda) + (n*(e^((-2piilambda)/n)-1))/((-2piilambda)^2 $
Edito anche sopra! scusate

[dissonance]

Non c'è bisogno di chiedere scusa, non hai mica fatto uno sgarbo a nessuno. Invece, calcola di nuovo l'integrale. Tutto il procedimento è concettualmente corretto, l'errore è a livello di calcolo di sicuro

[Krysbi]

Svolgo i passaggi completamente così magari mi riesci a dare una mano con l'errore, visto che sembro completamente cieco:

$ X= int_(0)^(1/n) (1-nt)*e^(-2piilambdat) dt = int_(0)^(1/n) e^(-2piilambdat) dt - int_(0)^(1/n) nt*e^(-2piilambdat) dt = $

$ (e^((-2piilambda)/n)-1)/(-2piilambda) -n(1/n *e^((-2piilambda)/n)/(-2piilambda) - int_(0)^(1/n) e^(-2piilambdat)/(-2piilambda) dt ) $

dove risolvo il primo integrale e sviluppo per parti il secondo.

$ (e^((-2piilambda)/n))/(-2piilambda)- 1/(-2piilambda) -n(1/n *e^((-2piilambda)/n)/(-2piilambda)) + (n(e^((-2piilambda)/n)-1))/(-2piilambda)^2 = $

$ = 1/(2piilambda)+ (n(e^((-2piilambda)/n)-1))/(-2piilambda)^2 $

Ecco, mi viene questo, facendo il limite $ lambda->0 $ però il risultato non è $1/(2n)$. :/

[Krysbi]

Non riesco a trovare l'errore :/

$ -n(t*e^(-2piilambdat)/(-2piilambda)|z - int_(0)^(1/n) e^(-2piilambdat)/(-2piilambda) dt )$

z = valutato tra $ 0 $ e $ 1/n $, non sapevo come scriverlo, scusa u.u

$ -n(1/n *e^((-2piilambda)/n)/(-2piilambda) - 0) - n(e^((-2piilambda)/n)-1)/(-2piilambda)^2 dt $

[dissonance]

Tutto corretto. Adesso tocca calcolare il limite. Tutti quei $2\pi i$ ti fanno confondere, usa un cambio di variabile:
\[
2\pi i \lambda = \mu.\]
Devi calcolare il limite per \(\mu \to 0\) di
\[
\frac{1}{\mu} + n\frac{ e^{-\frac\mu n} -1 }{\mu^2}.\]
Sviluppa l'esponenziale al secondo ordine.

[Krysbi]

faccio e ti dico!

[Krysbi]

xD cavolo, mi ero fermato al primo ordine, avevo riconosciuto lo sviluppo dell'esponenziale/limite notevole ma non ero andato avanti. Grazie infinite dell'aiuto. Era in un tema d'esame e la cosa mi ha distrutto in quel momento ._.