funzioni implicite

[cooper]

ciao a tutti, ho appena iniziato a studiare le funzioni implicite ma non riesco a venire a capo di alcuni problemi. ho il seguente esercizio:
"verificare che l'insieme $ E={(x,y)in RR : y^3log(1+2x)+e^(xy)=0} $ coincide con il grafico di una funzione y=y(x). determinarne l'insieme di definizione e tracciarne un grafico qualitativo (eventuali max/min limiti alla frontiera del dominio, intervalli di monotonia)"

allora: in prima battuta osservo che la funzione per esistere deve avere la $x>-1/2$. determino quidni che una tale funzione y esiste ed è unica. per farlo calcolo i limiti di $F(x,y) y^3log(1+2x)+e^(xy)=0$ per $ y->+-oo $ trovando che la F vale $+-oo$. la tale funzione (per il teorema degli zeri) esiste. per provarne ora l'unicità calcolo la derivata di F rispetto alla variabile y. trovo che $ F_y<0 $ per x<0 mentre è strettamente positiva se la x>0. se invece x=0 la derivata è nulla per cui per il teorema del Dini posso concludere che in quel punto non ho y=y(x). negli altri casi invece data la stretta monotonia posso concludere che la y è unica.
deduco allora che l'insieme di definizione della y è $ (-1/2,0)\cup(0,+oo) $ .
in questo insieme (sfruttando il dini estendendolo ad ogni punto del dominio) trovo la derivata prima delle y. $ y'=-(2y^3+y(1+2x)e^(xy))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]) $ . ora però non so più come continuare perchè nello studio della derivata ho anche la dipendenza da y che non so come trattare (non dovrebbe dipendere solo da x?).
il procedimento seguito all'inizio è corretto? l'insieme di definizione è effettivamente quello che ho individuato io? grazie in anticipo a tutti.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la crescenza e la decrescenza, puoi sicuramente utilizzare le seguenti proprietà:

$[-1/2 lt x lt 0] rarr [y gt 0] ^^ [x gt 0] rarr [y lt 0]$

Per quanto riguarda i limiti, si dovrebbe avere:

$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^-)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^+)y(x)=-oo] ^^ [lim_(x->+oo)y(x)=0]$

[cooper]

ciao. anzitutto ti ringrazio per la risposta. scusami ma continuo a non capire.
come mai riesco ad affermare (in modo certo) che se $ x in(-1/2,0) $ la y è positiva e in caso contrario è negativa?
non avendo una formula analitica per la y, poi, come hai fatto a calcolare quei quattro limiti?
infine: interpretando bene i limiti finali non dovrei avere un minimo per una qualche $ x in(-1/2,0) $?
grazie ancora per la pazienza!

[anonymous_0b37e9]

Per esempio, quando $[-1/2 lt x lt 0]$, nel primo membro di $[y^3log(1+2x)+e^(xy)=0]$, l'esponenziale è necessariamente positivo, $[e^(xy) gt 0]$, e il logaritmo è necessariamente negativo, $[log(1+2x) lt 0]$. Affinchè l'equazione ammetta soluzione deve necessariamente essere $[y^3 gt 0] rarr [y gt 0]$. Ad ogni modo, utilizzando le due informazioni del mio primo messaggio, si dovrebbe riuscire a studiare la crescenza, la decrescenza e l'eventuale presenza di estremi relativi. Ovviamente, devi concentrarti sull'espressione della derivata che hai correttamente calcolato. Per quanto riguarda i limiti, ne riparliamo.

[cooper]

Vediamo se il ragionamento che ho fatto è corretto.
studio il segno della derivata: $ y'=-(2y^3+ye^(xy)(1+2x))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]>0 $
il numeratore è positivo se x>0 ed anche il denominatore è positivo quando x>0. tramite la regola dei segni trovo quindi che la funzione cresce in tutto il suo dominio. per cui non esistono massimi/minimi della funzione.
se i calcoli sono corretti a questo punto mi verrebbe da dire che il primo limite che hai calcolato non va bene. se così fosse comunque non saprei darne una spiegazione.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il segno della derivata:

$[-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [y' gt 0]$

Insomma, sono d'accordo, anche se la proprietà vale in tutto il dominio.

... mi verrebbe da dire che il primo limite che hai calcolato non va bene ...

Non hai tutti i torti. Immagino che tu te ne sia accorto perchè in contraddizione con il secondo. Grazie per avermelo fatto notare. Ho ricontrollato, dovrebbe essere:

$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$

Ad ogni modo, anche se ho proceduto in modo ragionevole, vorrei giustificare il calcolo di tutti i limiti più rigorosamente.

[cooper]

E in base a cosa hai trovato quei risultati? Hai "intuito" quali potessero essere dalla crescenza e dalla positività/negatività della y?

[anonymous_0b37e9]

Dato che:

$AA x in RR: [-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [F(x,y(x))=0]$

deve, per esempio, necessariamente essere:

$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$

Escludendo i due casi seguenti (ti ricordo che la funzione è positiva in un intorno destro di $-1/2$ e, per un qualche motivo, mi sentirei di escludere a priori che il limite non esista):

$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$

$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=l gt 0] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$

non rimane che:

$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$

mediante il quale, proprio la comparsa di una forma indeterminata in:

$y^3log(1+2x)$

rende possibile avere:

$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$

E in base a cosa hai trovato quei risultati?

Semplicemente così. Anche se non estremamente rigoroso, mi sembra piuttosto ragionevole. Se non ho commesso altri errori, dovresti ricavare i limiti del mio primo messaggio.

Hai "intuito" quali potessero essere dalla crescenza e dalla positività/negatività della y?

Solo così, difficilmente avrei potuto convincere il sottoscritto.

[cooper]

Grazie 1000 per la pazienza, molto chiaro!