limite di una espressione esponenziale

Messaggioda MtoF » 17/10/2016, 18:55

ragazzi, potreste darmi una mano su questo limite:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1-\cos{x})^{\tan{x}} \) ?
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda feddy » 17/10/2016, 19:17

Per questo tipo di forma indeterminata spesso si ricorre al cosiddetto artificio di Bernoulli, ossia $x=e^ln(x).$

Da qui puoi riscrivere il limite in un certo modo e applicare un limite notevole noto.

In spoiler solo il risultato
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$1/e$
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda MtoF » 17/10/2016, 23:23

feddy ha scritto:Per questo tipo di forma indeterminata spesso si ricorre al cosiddetto artificio di Bernoulli, ossia $x=e^ln(x).$

Da qui puoi riscrivere il limite in un certo modo e applicare un limite notevole noto.

In spoiler solo il risultato
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$1/e$


con la forma esponenziale si viene ricondotti a calcolare il limite dell'esponente, cioè:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{\sin{x}} \cdot \frac{\ln({1-\cos{x})}}{\cos{x}} = 1 \cdot (-1)=-1 \)

e quindi il risultato

\(\displaystyle e^{-1} \)

giusto?
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda feddy » 17/10/2016, 23:36

Yes ;)
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda MtoF » 18/10/2016, 07:10

feddy ha scritto:Yes ;)


sì, ma anche qui sarei portato a vederlo formalmente meglio..
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda feddy » 18/10/2016, 10:02

Cioè? Come lo vorresti? ;)
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda MtoF » 18/10/2016, 10:19

feddy ha scritto:Cioè? Come lo vorresti? ;)


con il limite notevole più esplicito, forse con un cambio di variabile, poi provo..
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda feddy » 18/10/2016, 11:02

Certamente, il cambio di variabile funziona benissimo ;) ma è la stessa cosa che ho fatto, senza esplicitarlo :)
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda tommik » 18/10/2016, 15:08

MtoF ha scritto:
feddy ha scritto:Cioè? Come lo vorresti? ;)


con il limite notevole più esplicito.


vedilo così:

$lim_(x->(pi/2)^-)[(1+1/(-1/cosx))^(-1/cosx)]^(-senx)$


poni

$-1/(cosx)=t$

ed il limite viene

$lim_(t->oo)[(1+1/t)^t]^(-sqrt(1-1/t^2))=e^(-1)$


:D
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Re: limite di una espressione esponenziale

Messaggioda MtoF » 18/10/2016, 19:59

wao!!
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