componenti controvarianti

[bartsimpson]

Prima pagina del libro di algebra lineare \ sottosezione meccanica razionale
Capitolo 1: spazi vettoriali

Fissati 3 vettori unitari, detti versori: $(e_1 , e_2 , e_3)$ un qualsiasi vettore $x$ può scriversi nella forma:
$x = x^1 e_1 + x^2 e_2 + x^3 e_3$
dove $x^1, x^2 , x^3 $ sono le componenti controvarianti di $x$


domanda esistenziale: oltre al fatto che la nozione di controvariante l'ho ascoltata nella lezione sull'algebra tensoriale e che l'indice alto come in queto caso è controvariante (mentre sarebbe stato covariante se l'indice fosse 'basso'), mi chiedo, perchè nel libro di fisica 1 o in qualunque dispensa quella scomposizione non era altro che, prese le componenti $(x,y,z)$ in $RR3$ del punto materiale $P$ proiettate lungo gli assi cartesiani (i quali assi cartesiani hanno dei vettori L.I base naturale di $RR3$ ovvero i versori etc etc....)? Forse in algebra vi è dato più uno spessore formale?

[killing_buddha]

Forse vuoi che i vettori siano una base ortonormale... comunque: nel libro di Fisica 1 si sta supponendo che $\mathbb R^3$ sia uno spazio vettoriale euclideo: a tale ipotesi e' possibile scegliere "la" base, quella canonica, perche' stai fissando un isomorfismo isometrico tra $\mathbb R^3$ e il suo duale $(\mathbb R^3)^*$ (il piu' bello, l'identita'). Da un punto di vista puramente algebro-geometrico, dove' non c'e' ragione di postulare questa struttura aggiuntiva su uno spazio $V$, tutte le basi di $V$ sono sulla stessa barca.

La notazione "covariante-controvariante" a dirti la verita' non l'ho mai capita: mi sono risolto a pensare che nel gergo matto dei fisici "covariante" e' qualcosa che cambia coordinate con la matrice del cambio di base, e controvariante qualcosa che cambia coordinate con l'aggiunta della matrice di cambio delle coordinate (e quindi a rigore sta nel duale).

[navigatore]

Per caso sono capitato su questo topic , e provo a rispondere , avendo studiato il calcolo tensoriale per poter affrontare la Relatività , dove se ne fa un ampio uso .

Un vettore in $R3$ , rappresentato in coordinate cartesiane ortogonali , si scrive : $ \vecv = v^\(alpha)*e _(alpha) $ dove , secondo la convenzione di Einstein , si sottintende la sommatoria su due indici ripetuti , uno controvariante e l'altro covariante . Gli $e_(alpha) $ sono i tre versori degli assi .
Quindi si deve intendere che si fa la somma rispetto ad $\alpha$ , che varia da 1 a 2 a 3 .

In coordinate cartesiane ortogonali , non c'è differenza tra componenti controvarianti e componenti covarianti , per cui di solito siamo abituati a scrivere , in questo caso : $ \vecv = v_\(alpha)*e _(alpha) $ sempre sottintentendo la sommatoria .

Ma se le coordinate cartesiane non fossero ortogonali , già si potrebbe vedere la differenza tra componenti controvarianti e componenti covarianti , per un vettore .
Esemplifico .
Su un piano , scegliamo un riferimento costituito da due assi $Oxy$ non perpendicolari tra loro , ma formanti un angolo acuto . Dall'origine $O$ tracciamo sul piano un vettore $\vecv = (P-O) $ .

Dal punto P , possiamo condurre le parallele ai due assi $x$ ed $y$ , che determinano le componenti controvarianti del vettore , il quale si scrive : $ \vecv = v^1*e_1 + v^2*e_2$ , dove $e_(1,2) $ sono la base coordinata .

Ma possiamo anche proiettare il punto P perpendicolarmente sui due assi $x$ ed $y$ : le proiezioni sono le componenti covarianti del vettore , che si può anche esprimere come : $\vecv = v_1*\epsilon^1 + v_2*\epsilon^2$ ,dove $ \epsilon^(1,2) $ sono la "base duale" della base coordinata detta prima .

Naturalmente , esistono formule per passare da componenti controvarianti a componenti covarianti : nell'esempio appena fatto , è facile ricavarle . Ma forse è il caso di consultare un testo di calcolo tensoriale .

[LUCIANO74]

Ho cercato in rete qualche esmpio per chiarire le idee su collegamento tra base duale e coordinate covarianti. Questo post mi è stato utile ma volevo arrivare al caso pratico, se possibile:

Scelgo su un piano un riferimento costituito da due assi $Oxy$ non perpendicolari fra loro ma formanti un angolo acuto.
Lungo le due direzioni considerto due vettori linearmente indipendenti:
$v^1=(1,2)$
$v^2=(3,1)$
calcolo la corrispondente base duale di $v^1 e v^2$:
$v_1=-1/5x+3/5y$
$v_2=2/5x-1/5y$
Dall'origine $O$ traccio sul piano il vettore $\vec v$ $=$ $(P-O)$
A questo punto proietto il punto $P$ perpendicolarmente ai due assi $x$ e $y$ e ottengo le componenti covarianti del vettore.
Se le componenti covarianti le posso esprimere come: $\vec v$ $=$ $v_1$ $*$ $e^1$ $+$ $v_2$ $*$ $e^2$ dove $e^(1,2)$ rappresentano la base duale della base coordinata, nell'esempio specifico dovrei avere:
$\vec v$ $=$ $v_1$ $*$ $($ $-1/5x+3/5y$ $)$ $+$ $v_2$ $*$ $($ $+2/5x-1/5y$ $)$

A questo punto come calcolo $v_1$ e $v_2$ ?
Ho disegnato su un foglio i vettori ed ho misurato graficamente le due componenti covarianti, ma non so come calcolarle analiticamente

scusate l'uso di linguaggio tutt'altro che tecnico e da principiante quale sono

grazie a tutti