Libro esercizi calcolo probabilità

[Chiara94]

Salve devo sostenere l'esame di probabilità e statistica, vorrei che mi consigliaste un libro di esercizi sul calcolo delle probabilità che abbia almeno i risultati e che non sia troppo elementare. I quesiti posti dal professore non sono banali, ad esempio: data un urna con N palline tra rosse e nere, si aggiunge una pallina rossa.Si estra una pallina che risulta essere rossa, qual è la probabilità che l'urna abbia tutte palline rosse?

[tommik]

data un urna con N palline tra rosse e nere, si aggiunge una pallina rossa.Si estra una pallina che risulta essere rossa, qual è la probabilità che l'urna abbia tutte palline rosse?

Indico con:

$ N $: totale palline

$ R $: palline Red

$ B $: palline Black

La probabilità di avere zero nere è $1/2^N $

Ora aggiungo una rossa e calcolo

$ P (B=0|R)=(P (B=0) P (R|B=0))/(P (R))=(N+1)/(2^N (N/2+1))$


essendo:

$P(R|B_(0))=1$ e

$P(R)=1/(N+1)sum_(x=1)^(N+1)x((N),(x-1))(1/2)^N=$


$=1/(N+1)sum_(x=1)^(N+1)(x-1+1)((N),(x-1))(1/2)^N=1/(N+1)[1+sum_(y=0)^(N)y((N),(y))(1/2)^N]=$

$=1/(N+1)\cdot(1+N/2)$

[Chiara94]

Grazie per la risposta, scusami sono stata poco chiara, non avevo chiesto la risoluzione del problema, ma un libro con esercizi che possano essere simili a questo. Comunque non corrisponde alla soluzione data dal professore, immagino dipenda da come si immagina sia sia composta l'urna, tu l'hai immagina come il risultato di N lanci di una moneta per esempio, in cui a seconda del risultato si aggiunge nero o rosso, lui ha valutato i casi di 0 palline rosse, 1 pallina rossa e così via come equiprobabili, quindi come aventi tutti probabilità pari ad 1/N. Io non lo trovo semplice rispetto agli esercizi veramente elementari che si trovano in giro. Dato che sicuramente sei molto più esperto di me, puoi consigliarmi un libro con esercizi di questo tipo?

[superpippone]

La soluzione prospettata dal prof. non può essere corretta, perchè con $N$ palline le composizioni possibili (ma non equiprobabili...) dell'urna sono $N+1$.

[Chiara94]

Allora ci troviamo nella situazione il cui abbiamo N+1 casi possibili, ovvero R1: 1 sola pallina rossa, R2: 2 palline rosse....RN+1 : N+1 palline rosse ( in quanto il caso 0 palline rosse è escluso ), se supponiamo che i casi siano equiprobabili, quindi ciascuno con probabilità pari a 1/(N+1)[scusate prima per la fretta ho sbagliato a scrivere ], possiamo calcolare la probabilità che vi siano zero palline bianche condizionata dal aver estratto una pallina rossa P(P0|R)

$ P(B0|R)=(P(B0)*P(R|B0))/(P(R|R1)P(R1)+....+P(R|RN+1)*P(RN+1))=
(1/(N+1))/[(1/(N+1)+2/(N+1)+...+(N+1)/(N+1))*(1/(N+1)))=(
1)/(((N+1)(N+2))/(2(N+1)))=(2/(N+2)) $

Io l'ho risolto così e come risultato mi trovo sia col libro sia col professore, d'altro canto sarebbe strano usare la binomiale con p=1/2, perchè si può pensare all'evento : l'urna è composta da tutte palline rosse come equivalente all'esperimento di fare N+1 estrazioni senza rimessa e che tutte diano come risultato rosso, ma in tal caso ad ogni estrazione la probabilità di avere rosso sarebbe data dal numero di palline rosse sul numero totale e non semplicemente 1/2 e inoltre sicuramente non siamo in condizioni di indipendenza.

[tommik]

@Chiara: la soluzione che hai trovato è corretta (brava, hai un ottimo approccio agli esercizi) ma non è la miglior soluzione dell'esercizio che hai postato. L'ipotesi di equiprobabilità di tutte le realizzazioni dell'urna non è un dato e non può essere ipotizzato solo per semplificare la soluzione. Se ne hai voglia fallo presente al prof.

La soluzione più corretta secondo la comune interpretazione della traccia postata è quella che ti ho mostrato io.
No, non è strano usare la binomiale. Per farlo ho solo ipotizzato che sia equiprobabile la probabilità che una palla rossa o nera venga inserita nella composizione dell'urna iniziale. Questa è un'ipotesi veosimile nella realtà e del tutto plausibile con la traccia; la tua invece è un'ipotesi poco verosimile, non plausibile con la traccia e oltretutto molto forte.

Ho dovuto editare la soluzione perché ieri avevo sottovalutato l'esercizio, mea culpa. Per sdebitarmi però ti ho messo anche tutti i passaggi . Tieni presente che non sono un prof e mi ci è voluta un po' di calma ieri sera, dopo cena, per risolverlo.
Abbiamo usato entrambi la stessa formula del teorema di bayes solo che io ho calcolato la probabilità di ogni singola realizzazione in modo più conforme alla traccia.

Si in effetti (per fortuna) non è un esercizio banale ma, come puoi notare dalla soluzione, si può risolvere tranquillamente con un piccolo artificio algebrico e sfruttando le proprietà della binomiale

cordiali saluti

[Chiara94]

Non è un'interpretazione per rendere più sempice la soluzione,Io penso che dipenda dalla filosofia con cui si immagina sia costruita l'urna, per esempio se supponiamo sia costruita lanciando una moneta equa e inserendo una pallina rossa o nera nell'urna a seconda del risultato, allora si potrebbe usare la binomiale con p=1/2. Ma se invece immagini che l'urna sia stata costruita mettendo un numero di palline rosse pari al numero che ti esce su un dado equo con N+1 facce, allora l'interpretazione è diversa ed è concorde con la mia, nel valutare tutti i casi equiprobabili. Devi comunque assumere a priori qualcosa, e poiché non vi sono ragioni per credere che una configurazione dell'urna sia più probabile dell'altra, almeno leggendo il testo, mi sembra sensato considerare tutti i casi equiprobabili.

[tommik]

almeno leggendo il testo, mi sembra sensato considerare tutti i casi equiprobabili.

A me no. Secondo me è l'altra ipotesi è più aderente alla traccia. Ovviamente, a seconda di che ipotesi fai, cambia la soluzione. Con l'ipotesi di equiprobabilità la tua soluzione è giusta.
Per rispondere alla tua osservazione sul lancio della moneta e del dado (a parte la difficoltà fisica di trovare un dado con, ad esempio, $181$ facce) l'urna non è costituita con una certa procedura. Si sa solo che contiene $N$ palline divise fra Red e Black. Quindi è comune interpretazione vedere il numero di palline di un certo colore come il numero di successi su N prove, indipendenti e con ripetizione. E' abbastanza naturale, inoltre, considerare $p=q$


Per tua conoscenza hai anche la soluzione con l'altra ipotesi (oltretutto risolta in maniera decisamente elegante....)

Grazie comunque per averlo postato perché mi sono divertito a farlo.

saluti

[superpippone]

Devo dire che ci ho messo più di 2 giorni per capirlo....

E quasi altrettanti per trovare una soluzione.

Secondo me è così: $(N+1)/(2^(N-1)*(N+2))$

Tommik: se poni N = 1 vedi subito che la tua soluzione non è corretta.

Usando la tua formula il risultato è $3/4$, mentre la soluzione corretta è $2/3$

[tommik]

@Superpippone

Guarda bene: le due formule coincidono

$(N+1)/(2^(N-1)(N+2))=(N+1)/(2^N(N/2+1))$

Nella mia formula (per $ N=1$) $3/4$ è solo $ P (R) $


Sono contento che ci troviamo con la soluzione pur avendo seguito strade diverse.