verifica limite con valore assoluto

[Andrea Lombardi]

Mi potreste aiutare nella verifica di questo limite $\lim{x \to \+infty}(x/(|x|+1))=1$. Potreste darmi qualche indicazione su come procedere?

[kobeilprofeta]

Devi far vedere che $AA \epsilon >0 EE M>0$ t.c. $x>M =>| frac {x}{|x|+1}-1|<\epsilon $

[Andrea Lombardi]

Sì, questo lo avevo già fatto. Ho dubbi su come continuare. Dovrei impostare due sistemi, uno con -x e un altro con x?

[kobeilprofeta]

No

Se $x>M $, per come è stato scelto M, ho che $x>0$, quindi $|x|=x $

[Andrea Lombardi]

Dovrei quindi risolvere la disequazione $|(2x)/(-x+2)+2|< ε$. Per un'ulteriore conferma, potresti scrivermi, se non ti dispiace, il riusltato della disequazione?

[kobeilprofeta]

No rileggi ciò che hai scritto

[Andrea Lombardi]

Scusami, ho scritto la disequazione di un altro esercizio. Grazie per l'aiuto...

[kobeilprofeta]

ma hai capito come si fa?

[kobeilprofeta]

$|frac{x}{x+1}-1|<\epsilon$
${(-frac{1}{x+1}<\epsilon),(-frac{1}{x+1} > - \epsilon):}$
${(\epsilon*x> -1-\epsilon),(\epsilon*x>1-\epsilon):}$
La prima è verificata $AA x>0$
La seconda se $x>1/{\epsilon}-1$

Quindi concludendo posso dire che $AA \epsilon > 0 EE M(\epsilon)=1/{\epsilon}-1>0 t.c. x>M => |frac{x}{|x|+1}-1|<\epsilon$ e quindi vale:
$lim_{x to +\infty} frac{x}{|x|+1}=1$

[Andrea Lombardi]

Sì, ho capito. Ora sto provando a fare $lim_(x->2^-)(|2-x|/2-x)=-1$. Prima di tutto ho notato che, essendo x<2, il valore assoluto |2-x|si può scrivere come 2-x. Ho scritto poi la disequazione $|((2-x)/2)-x +1|< \epsilon$. ma il risultato non mi viene un intorno sinistro di 2.