disuguag. di Tchebichev

[Gandalf73]

Si è presentato un esercizio che ho risolto, che mi alimenta alcune riflessioni.
Il testo recita:

"dedurre dalla disug, di Tchebichev un limite inferiore per $ P{a < X < b} $ sapendo che X è continua e che $ E[X] = a1 $ e $ Var[X] = b1 $" .

Sono giunto alla soluzione.
Sostituendo gli estremi a e b nella relazione si ricavano i valori di K che possono essere coincidenti (se fissati opportunamente a,b,a1,b1) oppure diversi.
Nel caso in cui fossimo in presenza di k differenti, andrebbe cosiderato il valore maggiore per la determinazione della P ?
Un saluto ed un grazie
A.

[tommik]

forse ho interpretato male....ma per usare la disuguaglianza di Cebicev (mi piace scriverlo così, dato che comunque tenti di scriverlo non lo scriverai mai corretto, a meno di non sapere il cirillico)


l'intervallo $[a,b]$ deve essere simmetrico rispetto alla media, non lo puoi scegliere a capocchia....quindi il problema non si pone


$P{mu-lambdasigma<X<mu+lambdasigma}>=1-1/lambda^2$

l'unico caso in cui tale intervallo può non essere simmetrico è se tale intervallo va oltre il dominio della variabile...ma il problema a questo punto non si porrebbe comunque

[Gandalf73]

Si direi che torna ma c'è ancora una zona d'ombra che mi lascia il teorema.
Ci sono due modi che illustrano la disuguaglianza di cui parliamo.
Una è quella indicata e l'altra in cui si invertono i segni e scompare "l' 1-.."
Di questa seconda ho trovato la dimostrazione della prima no...e mi sto arrovellando.
Un saluto
A.

[tommik]

Di questa seconda ho trovato la dimostrazione della prima no...e mi sto arrovellando.

Really?

Posto che siamo tutti d'accordo che

1)

$P{|x-mu|>epsilon}<=sigma^2/epsilon^2$

considerando che

$P{|x-mu|<=epsilon}+P{|x-mu|>epsilon}=1$

trasportando il secondo fattore del primo membro al secondo (avendo cura di cambiarlo di segno) e tenendo presente il verso della disequazione 1) possiamo anche dire che

$P{|x-mu|<=epsilon}>=1-sigma^2/epsilon^2$