Compattezza in uno spazio infinito dimensionale

[FRALT90]

Ciao a tutti,
ho un problema nel dimostrare un'affermazione fatta a lezione dal mio professore, riguardante gli insiemi compatti in un Hilbert. Lui ha affermato che

"Detto H uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e V un sottoinsieme finito dimensionale di H, un insieme chiuso e limitato U contenuto in V è un compatto"

Io ho pensato che questa affermazione segue dal teorema di Riesz grazie al quale so che la palla unitaria in V è compatta se e solo se V ha dimensione finita; inoltre so anche che in uno spazio finito dimensionale, il prototipo di un compatto è la palla unitaria e che un compatto è un chiuso e limitato.

Non riesco però a mettere insieme tutti questi risultati in modo da avere un ragionamento chiaro. Mi aiutate?

grazie mille!!!

[dissonance]

Qui in realtà lo spazio infinito dimensionale $H$ non entra proprio, tutto avviene nello spazio finito dimensionale $V$. In questo spazio un sottoinsieme è compatto se e solo se esso è chiuso e limitato, e questo è esattamente il teorema di Bolzano-Weierstrass.

Se vuoi dimostrare Bolzano-Weierstrass partendo dal teorema di Riesz che citi, mostra che un sottoinsieme chiuso e limitato $U$ di $V$ è contenuto in una palla chiusa di raggio $R$. Tale palla è compatta e quindi tutti i suoi sottoinsiemi chiusi sono compatti.

[FRALT90]

infatti anche io non capisco bene perché lui ha tirato in ballo questo spazio infinito dimensionale.
Comunque mi metto subito all'opera per dimostrare che un sottoinsieme chiuso e limitato U di V è contenuto in una palla chiusa di raggio R. Sai darmi qualche indizio su come partire?

So che un sottoinsieme è limitato se e solo se è contento in una palla di raggio R, ma non saprei come utilizzare il fatto che sia chiuso

[dissonance]

Un sottoinsieme è limitato se e solo se è contenuto in una palla chiusa. Se lo spazio è di dimensione finita, le palle chiuse sono compatte. In questo caso, quindi, un sottoinsieme chiuso e limitato è un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto. E qui scatta un fatto generale, facile: un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è esso stesso compatto.

Fine.