Operatore lineare-norma di una costante

[gi88]

Solo ora ho ho visualizzato la gentile risposta di Dissonance .. Sul materiale da cui sto studiando il funzionale lineare è definito su uno spazio X normato con codominio il campo dei numeri complessi. Non va bene? :/

[dissonance]

Ma si va bene lo stesso In questo caso invece del valore assoluto devi prendere il modulo. Non ti impaperare su questi dettagliucci

[gi88]

Mi sembra di intuire quale sia la domanda. Se $L$ è un "funzionale lineare", si intende che è un operatore definito in uno spazio di Banach $X$ e a valori in $RR$, e su $RR$ si intende che la norma è il valore assoluto.

Buonasera . Chiedo scusa, in base alla definizione del funzionale lineare allora nel nostro caso "pensare" alla norma del valore n (naturale) o meglio, il suo valore assoluto viene dal fatto che dobbiamo pensare comunque ad un elemento x dello spazio normato e precisamente x = 1, in modo che abbiamo ||n|| = ||n 1|| = |n||1| ? Cioè, il mio dubbio è, possiamo usare la norma su n che è un numero naturale e non un vettore di uno spazio normato :/ ? O forse mi sfugge qualcosa :/ . Grazie tantissssime

[gugo82]

Bisogna che poni meglio la domanda... Così non si capisce nulla.


P.S.: In un generico spazio normato non c'è nessun vettore $x=1$ di solito.

[gi88]

Buongiorno. Mi scusi. Il mio dubbio è possiamo usare la norma "su" un numero naturale n dato che la norma è definita con codominio corrispondente ad uno spazio normato? In caso negativo, in base a quale "concetto" possiamo dire che se ci troviamo davanti alla norma di un numero naturale (come nel caso di una dimostrazione che ho scritto "sopra" in uno dei miei ultimi messaggi) allora essa è uguale al modulo ( se lavoriamo con il campo dei numeri complessi) di n?
Grazie, grazie tantisssime

[gugo82]

Ho letto il post a cui ti riferisci, ma continuo a non capire la questione.
Che teorema stavate provando?
Puoi riportare il passaggio?

Tieni presente che puoi inserire formule in maniera abbastanza semplice.

[gi88]

Buonasera . Mi scusi il ritardo. Si provava che se uno spazio normato X ha dimensione infinita allora esistono funzionali lineari non continui (ovvero non limitati).
Grazie grazie mille

[gugo82]

Ah, ok.

Allora la questione è molto semplice, perché la costruzione di un funzionale lineare non limitato (che è lo stesso che dire non continuo) si fa in maniera immediata su uno spazio noto, i.e. $c_{00}$.
Ti ricordo che:
\[
c_{00} := \left\{ \mathbf{x}:=(x_n):\ \exists \nu \in \mathbb{N} \text{ tale che } x_n=0 \text{ per ogni } n\geq \nu \right\}
\]
è lo spazio delle successioni (a valori reali o complessi) definitivamente nulle; tale spazio è vettoriale normato con norma del massimo, i.e. con:
\[
\| \mathbf{x}\|_\infty := \max \{|x_n|\}\: .
\]
Si prova facilmente, inoltre, che ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ è combinazione lineare degli elementi:
\[
\mathbf{e}^k := (\delta_n^k)=(0,\ldots, 0,\underbrace{1}_{k\text{-esimo posto}},0,\ldots,0,\ldots )
\]
(in cui $\delta_n^k$ è di Kronecker e l'indice $k$ è in alto per non confondersi con l'indice $n$ della successione dei termini di ogni vettore), poiché infatti per ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ risulta:
\[
\mathbf{x} = \sum_{k=1}^\infty x_k \mathbf{e}^k
\]
in cui la somma è in realtà estesa solo ad un numero finito di indici (quelli $<\nu$ se $\mathbf{x} \ne\mathbf{0}$); pertanto l'insieme \(B:=\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^k,\ldots \}\) è una base (nel senso dell'Algebra Lineare) di $c_{00}$.

Considera il funzionale $f:c_{00}\to \RR$ (o $\to \CC$, se sei nel caso complesso) definito sui vettori di $B$ ponendo:
\[
f(\mathbf{e}^k):=k
\]
per ogni $k\in \NN$; evidentemente, sul generico vettore $\mathbf{x}\in c_{00}$ il funzionale $f$ rimane univocamente definito da:
\[
f(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^\infty x_k\ f(\mathbf{e}^k) = \sum_{k=1}^\infty k\ x_k
\]
per noti fatti di Algebra Lineare¹, in cui la somma è in realtà estesa ad un numero finito di indici.
L'applicazione così definita è certamente lineare, e però è illimitata: infatti, mentre si ha:
\[
\| \mathbf{e}^k\|_\infty =1
\]
per ogni $k\in \NN$, risulta:
\[
\sup_{k\in \mathbb{N}} f(\mathbf{e}^k) = \sup_{k\in \mathbb{N}} k = +\infty\; .
\]

Questo ragionamento è più generale di quanto si pensi.
Infatti ogni spazio vettoriale $X$ ha una base $B$ nel senso dell'Algebra Lineare (cose che si dimostra usando l'Assioma della Scelta), la quale contiene infiniti elementi se $X$ non ha dimensione finita²; dunque, dopo aver normalizzato i vettori di $B$ (cosa che si può fare, in quanto $X$ è normato), è possibile ripetere in $X$ la costruzione di $f$ parola per parola ed ottenere uno sfolgorante esempio di funzionale lineare non limitato.

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Note

1. Un'applicazione lineare è univocamente definita una volta assegnati i suoi valori sui vettori di una base. ↑
2. Nota Bene: negli spazi vettoriali a dimensione finita, tutti i funzionali lineari sono continui, perché sono rappresentabili mediante un prodotto scalare. Quindi è assolutamente necessario, per costruire il nostro esempio, che $\dim X =\infty$. ↑

[gi88]

Grazie, grazie mille

[gi88]

P.s. Mi scusi, precisamente cosa significa quando una "proprietà è verificata" "definitivamente"? Grazie