Ah, ok.
Allora la questione è molto semplice, perché la costruzione di un funzionale lineare non limitato (che è lo stesso che dire non continuo) si fa in maniera immediata su uno spazio noto, i.e. $c_{00}$.
Ti ricordo che:
\[
c_{00} := \left\{ \mathbf{x}:=(x_n):\ \exists \nu \in \mathbb{N} \text{ tale che } x_n=0 \text{ per ogni } n\geq \nu \right\}
\]
è lo spazio delle successioni (a valori reali o complessi) definitivamente nulle; tale spazio è vettoriale normato con norma del massimo, i.e. con:
\[
\| \mathbf{x}\|_\infty := \max \{|x_n|\}\: .
\]
Si prova facilmente, inoltre, che ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ è combinazione lineare degli elementi:
\[
\mathbf{e}^k := (\delta_n^k)=(0,\ldots, 0,\underbrace{1}_{k\text{-esimo posto}},0,\ldots,0,\ldots )
\]
(in cui $\delta_n^k$ è di Kronecker e l'indice $k$ è in alto per non confondersi con l'indice $n$ della successione dei termini di ogni vettore), poiché infatti per ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ risulta:
\[
\mathbf{x} = \sum_{k=1}^\infty x_k \mathbf{e}^k
\]
in cui la somma è in realtà estesa solo ad un numero finito di indici (quelli $<\nu$ se $\mathbf{x} \ne\mathbf{0}$); pertanto l'insieme \(B:=\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^k,\ldots \}\) è una base (nel senso dell'Algebra Lineare) di $c_{00}$.
Considera il funzionale $f:c_{00}\to \RR$ (o $\to \CC$, se sei nel caso complesso) definito sui vettori di $B$ ponendo:
\[
f(\mathbf{e}^k):=k
\]
per ogni $k\in \NN$; evidentemente, sul generico vettore $\mathbf{x}\in c_{00}$ il funzionale $f$ rimane univocamente definito da:
\[
f(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^\infty x_k\ f(\mathbf{e}^k) = \sum_{k=1}^\infty k\ x_k
\]
per noti fatti di Algebra Lineare
1, in cui la somma è in realtà estesa ad un numero finito di indici.
L'applicazione così definita è certamente lineare, e però è illimitata: infatti, mentre si ha:
\[
\| \mathbf{e}^k\|_\infty =1
\]
per ogni $k\in \NN$, risulta:
\[
\sup_{k\in \mathbb{N}} f(\mathbf{e}^k) = \sup_{k\in \mathbb{N}} k = +\infty\; .
\]
Questo ragionamento è più generale di quanto si pensi.
Infatti ogni spazio vettoriale $X$ ha una base $B$ nel senso dell'Algebra Lineare (cose che si dimostra usando l'
Assioma della Scelta), la quale contiene infiniti elementi se $X$ non ha dimensione finita
2; dunque, dopo aver normalizzato i vettori di $B$ (cosa che si può fare, in quanto $X$ è normato), è possibile ripetere in $X$ la costruzione di $f$ parola per parola ed ottenere uno sfolgorante esempio di funzionale lineare non limitato.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)