Il componente e la componente di un vettore

[scuola1234]

Buonasera qual è la differenza tra il componente e la componente dei vettori? Grazie infinite

[Shackle]

Per fare un esempio, prendiamo un vettore $vecv$ in un piano, e tracciamo per l'origine $O$ del vettore due rette $r$ ed $s$, nel piano detto, che per semplicità siano perpendicolari tra loro¹ nel punto $O$ .

Possiamo scomporre $vecv$ secondo le due rette , e cioè possiamo pensare $vecv$ come "somma vettoriale " di due vettori, uno su $r$ e l'altro su $s$ (sai come si fa? Dal secondo estremo $P$ del vettore tracciamo le parallele a $r$ e a $s$ , fino a intersecarle) :

$ vecv = vecv_r + vecv_s$

questi due vettori sono "i vettori componenti" di $vecv$ nella scomposizione detta, secondo le due rette date. Possiamo assumere altre due rette qualsiasi per $O$ , sempre tra loro perpendicolari , e allora otteniamo due vettori componenti diversi, ma il vettore di partenza $vecv$ è sempre lo stesso.

Se le due rette sono orientate, cioè abbiamo scelto come positivo un verso di percorrenza di $r$ , e cosí pure di $s$ , verifichiamo se $vecv_r$ è concorde col verso positivo di $r$ : se lo è , la misura del segmento che rappresenta $vecv_r$ (rispetto a una certa unità di misura) , presa col segno positivo , è " la componente" $v_r$ di $vecv$ su $r$ . Analogamente per $vecv_s$ . Il segno sarà invece negativo se il componente di $vecv$ sulla retta è discorde all'orientamento della retta.
LE componenti ( al femminile, quindi) hanno dunque un segno , sono dei numeri reali.

Le direzioni positive delle due rette $r$ ed $s$ si indicano con vettori particolari, di grandezza unitaria , che si chiamano "versori" ; per esempio, chiamo $hatr $ il versore di $r$ , e $hats$ il versore di $s$ .

Allora posso scrivere : $vecv = v_r hatr + v_shats$

Faccio un esempio , in coordinate cartesiane ortogonali, dove i versori degli assi $x,y$ del piano si indicano di solito con $hati$ e $hatj$, oppure con $veci$ e $vecj$ . Allora scrivo :

$vecv = v_xhati + v_yhatj$ .

Supponiamo per esempio che sia : $vecv = +2hati -3hatj$ . Allora , "i vettori componenti" sono : $vecv_x =2hati$ e $vecv_y=-3hatj$ .
Invece "le componenti" sono $v_x = +2$ e $v_y = -3$ .

Chiarisco che ho scomposto il vettore in due sole direzioni, ma se sono nello spazio euclideo a tre dimensioni posso scomporlo in tre direzioni, non complanari, cioè i tre assi $x,y,z$ .

Ci sarebbero altre cose da dire , ma non so se conosci il prodotto scalare tra vettori , che consente di ricavare algebricamente le componenti.
Come pure , si può dire che , detto $A$ il punto di origine di $vecv$ e $B$ il secondo estremo , di coordinate cartesiane ortogonali $x_A,y_A,z_A$ e rispettivamente $x_B,y_B,z_B$ , le componenti sono date da : $v_x = x_B - x_A$ , e analoghe per le altre due . Qui il segno delle componenti viene fuori automaticamente .

Chiedo scusa ai matematici per la spiegazione non molto rigorosa , ma credo che per l'utente basti questo.

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Note

1. Si potrebbe assumere anche che le due rette non siano perpendicolari, però in questo caso occorrerebbe precisare quali componenti vogliamo considerare, se le "controvarianti" oppure le "covarianti" : non è il caso qui, ritengo, di entrare in certe questioni. ↑

[scuola1234]

Grazie infinite! Potrei sapere come si colleghino le matrici a tali vettori per favore? Io so che la matrice è una tabella ordinata di numeri; ma cosa rappresentano su un grafico? Non capisco il collegamento tra matrici e vettori. Grazie mille

[Shackle]

Dovresti formulare meglio la tua domanda, e spiegarmi perchè la fai , cioè esporre per quale motivo chiedi se c'è un collegamento tra matrici e vettori. Detta cosí , francamente non capisco che cosa stai chiedendo. Intuisco qualcosa, ma non posso risponderti se non so che cosa chiedi esattamente.

[scuola1234]

Scusi la domanda mal posta...volevo sapere che significa che "i vettori sono matrici"? Significa che i vettori sono "tabelle"? Grazie mille

[Shackle]

Supponiamo di avere un vettore nello spazio euclideo tridimensionale, dotato di coordinate cartesiane ortogonali $x,y,z$ .

Il vettore $vecv = v_xveci +v_yvecj+v_Zveck$ si può rappresentare con le sue tre componenti , che formano gli elementi di una matrice avente una sola colonna e tre righe, cioè cosí :

$((v_x),(v_y),(v_z)) $

questa si chiama vettore-colonna o anche matrice-colonna, visto che c'è una sola colonna .

In geometria euclidea , e coordinate cartesiane ortogonali come prima detto , lo puoi trovare rappresentato anche come una matrice-riga , cioé una matrice che ha una sola riga e tre colonne , cosi :

$(v_x,v_y,v_z)$

In questo senso, sia come colonna che come riga, un vettore è una matrice. Per inciso ti dico che è più giusta la rappresentazione come colonna che come riga, ma sarebbe troppo lungo spiegarlo, si tratta di concetti alquanto più avanzati del tuo livello di studi, penso.
Se tu conoscessi il prodotto di matrici (righe per colonne : sai come si fa ? Se non lo sai, lascia stare) , potrei dirti che il vettore $vecv$ è dato dal prodotto della matrice-riga dei versori della terna per la matrice-colonna delle componenti :

$vecv = (veci,vecj,veck)*((v_x),(v_y),(v_z)) = veciv_x +vecjv_y + veckv_z$

MA se questo è fuori della tua portata, lascia stare, ti confondi solo le idee .

Lascia perdere il "lei" , dammi il "tu" .

[scuola1234]

Grazie mille finalmente ho capitp che c'entrano i vettori con le matrici; sì comunque devo imparare amche a fare i prodotti di matrici. Ho letto che il prodotto si può fare se il numero delle righe della prima matrice è uguale a quello delle colonne della seconda. Grazie mille molto chiaro