Esercizio di matematica discreta (combinazioni semplici e con ripetizione)

[MatematiNO]

Ciao ragazzi! Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio.



Nel punto uno, ci chiede di trovare in quanti modi si possono scegliere 4 gusti diversi per un cono e la risposta è (15 4) che associo al numero di COMBINAZIONI SEMPLICI ovvero (n k) giusto?!

Nel punto 2 poi ci chiede nella prima parte di trovare I modi di scegliere un gusto tra i 3 favoriti e 2 gusti diversi, quindi qui applicherei la formula per calcolare il numero delle combinazioni semplici. (scritta alla fine dell'immagine)
Però nella risoluzione il prof. fa altro, non riesco a capire come procede!
In particolare non capisco come ottiene 3*(12*11/2)+3*12

Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee? Il mio problema credo che sta alla base, non riesco a capire bene la differenza fra combinazioni semplici e con ripetizione
Grazie!

[anto_zoolander]

Si il primo è corretto
Per il secondo considera questo:
Sia $T$ il totale dei modi che in cui puoi scegliere i 3 gusti avendone solo 1,2 dei tuoi preferiti
Questi li otterrai sommando i modi di scegliere 3 gusti avendo esattamente un preferito e il modo di scegliere 3 gusti avendo esattamente 2 preferiti. Dunque $T_1+T_2=T$

Hai $((3),(1))$ modi di scegliere il preferito è $((15-3),(2))$ modi di scegliere altri due gusti che non siano i tuoi preferiti
per l'altro hai $((3),(2))$ e $((15-3),(1))$ poiché dopo aver scelto due gusti ti resta solo un buco libero
Dunque $T_1=((3),(1))((12),(2))$ e $T_2=((3),(2))((12),(1))$ e poi sono conti.

Le combinazioni semplici si usano quando una volta usato un elemento, quello non puó ricomparire.
Quelle con ripetizione quando un elemento lo puoi ripetere fino a $k$ volte

per esempio dato un insieme $X={a,b,c}$ avrai

$C_(3,2)=((3),(2))=3$ modi di metterli assieme senza che importi l'ordine e quindi
$(ab),(ac),(bc)$

se ti interessa sempre che l'ordine non conti, ma gli oggetti vuoi ripeterli avrai
$C'_(3,2)=((3+2-1),(2))=((4),(2))=6$ ovvero $(ab),(ac),(bc)$ e $(a a),(b b),(c c)$

Tipo $(aab),(aba),(baa)$ sono lo stesso elemento di una combinazione con ripetizione di 2 elementi classe 3.
Poiché cambia soltaltanto l'ordine con cui si presentano.
Se nel coso dei gusti avevi a disposizioni 4 palline e potevi ripetere le palline degli stessi gusti sarebbero state
$C'_(15,4)=((15+4-1),(4))=((18),(4))$

[MatematiNO]

Si il primo è corretto
Per il secondo considera questo:
Sia $T$ il totale dei modi che in cui puoi scegliere i 3 gusti avendone solo 1,2 dei tuoi preferiti
Questi li otterrai sommando i modi di scegliere 3 gusti avendo esattamente un preferito e il modo di scegliere 3 gusti avendo esattamente 2 preferiti. Dunque $T_1+T_2=T$

Hai $((3),(1))$ modi di scegliere il preferito è $((15-3),(2))$ modi di scegliere altri due gusti che non siano i tuoi preferiti
per l'altro hai $((3),(2))$ e $((15-3),(1))$ poiché dopo aver scelto due gusti ti resta solo un buco libero
Dunque $T_1=((3),(1))((12),(2))$ e $T_2=((3),(2))((12),(1))$ e poi sono conti.

Le combinazioni semplici si usano quando una volta usato un elemento, quello non puó ricomparire.
Quelle con ripetizione quando un elemento lo puoi ripetere fino a $k$ volte

per esempio dato un insieme $X={a,b,c}$ avrai

$C_(3,2)=((3),(2))=3$ modi di metterli assieme senza che importi l'ordine e quindi
$(ab),(ac),(bc)$

se ti interessa sempre che l'ordine non conti, ma gli oggetti vuoi ripeterli avrai
$C'_(3,2)=((3+2-1),(2))=((4),(2))=6$ ovvero $(ab),(ac),(bc)$ e $(a a),(b b),(c c)$

Tipo $(aab),(aba),(baa)$ sono lo stesso elemento di una combinazione con ripetizione di 2 elementi classe 3.
Poiché cambia soltaltanto l'ordine con cui si presentano.
Se nel coso dei gusti avevi a disposizioni 4 palline e potevi ripetere le palline degli stessi gusti sarebbero state
$C'_(15,4)=((15+4-1),(4))=((18),(4))$

Ok adesso è più chiaro, ho solo due perplessità:

-Non riesco solo a capire da dove deriva $((15-3),(2))$

-Non sono sicuro di svolgere bene i calcoli per $T_1=((3),(1))((12),(2))$ e $T_2=((3),(2))((12),(1))$
Sviluppo con la formula delle combinazioni semplici tutto e poi semplicemente moltiplico i due numeri ottenuti, giusto?!

[superpippone]

Se i gusti sono 15, e i tuoi preferiti 3, i "non preferiti" sono $15-3=12$

Non devi moltiplicare i due numeri trovati. Devi sommarli.

[MatematiNO]

Scusate ma continuo a non capire, le risposte vaghe mi destabilizzano.

Quindi:

- $((15-3),(2))$ questo non deriva da nessuna formula.

-Potrei avere lo svolgimento di questi calcoli? Ve ne sarei grato!
$T_1=((3),(1))((12),(2))$ e $T_2=((3),(2))((12),(1))$

[anto_zoolander]

La matematica non è come una confezione per panettoni. $15-3$ non te lo da una formula ma il tuo cervello pensante.
Se hai $((3),(1))$ modi di scegliere UN solo gusto tra i tuoi preferiti, quando poi sceglierai i gusti successivi, non puoi ancora tener conto di tutti e 15 i gusti a disposizione, ma dei gusti rimanenti una volta scelto il tuo preferito e tolti gli altri preferiti rimanenti. Se in totale hai 15 gusti e dovrai scegliere tra tutti e 15, due gusti che non siano i tuoi preferiti, devi togliere da questi quindici: quello che hai scelto e quelli che non vuoi scegliere.
Da qui il famoso $15-3$
Dunque hai $((3),(1))$ modi di scegliere il primo gusto tra i tuoi preferiti e $((12),(2))$ modi di scegliere due gusti tra quelli che non sono i tuoi preferiti.
Ora se devi scegliere tra due pantaloni e 3 camicie, quanti sono i possibili accoppiamenti che puoi fare? $3times2=6$
Allo stesso modo tutte le possibilità che rispondono alla domanda
'Quanti sono i possibili modi di ottenere un cono che abbia un gusto preferito e due non preferiti'
Devi fare il prodotto tra i possibili modi di scegliere un gusto preferito dei tre e i modi possibili di scegliere due gusti non preferiti tra in dodici rimanenti e questo si esprime con

$((3),(1))((12),(2))=3*(12!)/(10!2!)=198$ a meno di errori

Il ragionamento per il secondo è analogo solo che hai

$((3),(2))((12),(1))=3*12=36$

Ovvero sommando tutte cose avrai $234$ possibilità.
Nota che scegliere 'esattamente' rende disgiunti i due casi, potendoli trattare singolarmente e sommando i risultati.

[axpgn]

La matematica non è come una confezione per panettoni.

Anto, non ho capito cosa c'entri però è carina ...

[anto_zoolander]

...

- $((15-3),(2))$ questo non deriva da nessuna formula.

...

da questo

[MatematiNO]

La matematica non è come una confezione per panettoni. $15-3$ non te lo da una formula ma il tuo cervello pensante.
Se hai $((3),(1))$ modi di scegliere UN solo gusto tra i tuoi preferiti, quando poi sceglierai i gusti successivi, non puoi ancora tener conto di tutti e 15 i gusti a disposizione, ma dei gusti rimanenti una volta scelto il tuo preferito e tolti gli altri preferiti rimanenti. Se in totale hai 15 gusti e dovrai scegliere tra tutti e 15, due gusti che non siano i tuoi preferiti, devi togliere da questi quindici: quello che hai scelto e quelli che non vuoi scegliere.
Da qui il famoso $15-3$
Dunque hai $((3),(1))$ modi di scegliere il primo gusto tra i tuoi preferiti e $((12),(2))$ modi di scegliere due gusti tra quelli che non sono i tuoi preferiti.
Ora se devi scegliere tra due pantaloni e 3 camicie, quanti sono i possibili accoppiamenti che puoi fare? $3times2=6$
Allo stesso modo tutte le possibilità che rispondono alla domanda
'Quanti sono i possibili modi di ottenere un cono che abbia un gusto preferito e due non preferiti'
Devi fare il prodotto tra i possibili modi di scegliere un gusto preferito dei tre e i modi possibili di scegliere due gusti non preferiti tra in dodici rimanenti e questo si esprime con

$((3),(1))((12),(2))=3*(12!)/(10!2!)=198$ a meno di errori

Il ragionamento per il secondo è analogo solo che hai

$((3),(2))((12),(1))=3*12=36$

Ovvero sommando tutte cose avrai $234$ possibilità.
Nota che scegliere 'esattamente' rende disgiunti i due casi, potendoli trattare singolarmente e sommando i risultati.

Ok, adesso è tutto chiaro!! Grazie mille