Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda bounty14 » 10/01/2017, 12:45

Buongiorno a tutti, vorrei chiedervi la risoluzione di questo esercizio passo passo preso da un testo d'esame di analisi 1 recentissimo possibilmente avere anche una foto del dominio di f :D

Determinare gli eventuali massimi e minimi assoluti di f(x,y)

$ f(x,y)= x^2-y^2 in D= { (x,y): | x-y |\leq | 2x-y |\leq 2 } $

grazie mille spero possiate aiutarmi in tempo :D
bounty14
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda TeM » 10/01/2017, 13:47

Ciao bounty14, innanzitutto ben iscritto/a. :-)

bounty14 ha scritto:Vorrei chiedervi la risoluzione di questo esercizio passo passo preso da un testo d'esa-
me di analisi 1 recentissimo e possibilmente avere anche una foto del dominio D. :D

Non è che funzioni proprio così: ti invito a leggere per bene il regolamento.
Essendo il tuo primo intervento nel forum, cerco di introdurti alla risoluzione.

Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x,\,y) := x^2 - y^2\,, \] siamo interessati a studiare la natura dei propri punti critici vincolati al dominio \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : |x-y| \le |2\,x - y| \le 2 \right\}, \] il cui grafico risulta essere il seguente:

Immagine

Preliminarmente si nota che \(D\) gode della simmetria \(\mathcal{S}(x,\,y) = (2\cdot 0 - x, \; 2 \cdot 0 - y)\) (ossia \(D\) è simmetrico
rispetto al punto \(O\)) e che \(f\) è una funzione pari rispetto alla medesima simmetria, quindi è sufficiente cerca-
re gli estremi assoluti \((x^*,\,y^*)\) di \(f\) vincolati a \(D\) solamente per \(x \ge 0\); di conseguenza saranno individuati
anche quelli per \(x \le 0\) di coordinate \(\mathcal{S}(x^*,\,y^*)\).

Tutto ciò premesso, l'algoritmo da seguire è sempre lo stesso e quindi come traccia puoi seguire questo. ;)
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda bounty14 » 10/01/2017, 14:11

ok scusate, io speravo di ottenere la soluzione analitica dell'esercizio, perchè avendo provato a farlo non so se è giusto, posso postare le foto dell'esercizio o devo trascrivere tutto il latex?
Grazie
bounty14
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda TeM » 10/01/2017, 14:29

Scrivi in LaTeX i passaggi salienti della risoluzione che vediamo se sono
corretti o meno. Ciò fatto, posso mostrarti anche la mia risoluzione. ;)

Tanto per cominciare: sei riuscito a passare dalle disuguaglianze tramite
le quali è definito \(D\) al grafico di cui sopra? Se sì, benissimo, scrivi pure
i passaggi circa lo studio di \(f\) in \(D\), altrimenti soffermati su quel punto!
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda bounty14 » 10/01/2017, 15:42

allora innanzi tutto ho commesso un errore rilevante, il dominio mi viene come in figura, ma io ho considerato le x comprese tra -2 e 2 quindi mi vengono le punte del grafico tagliate.
il dominio mi viene
$| x-y |<|2x-y|<2$

poi ho fatto il gradiente di f=0 in (0,2) e il (0,2) ha un punto di sella perchè il determinante dell'Hessiana è <0
la funzione cresce lungo y=0 e decresce lungo x=0
quindi il max di f in D f(y=0;x=+-1)=-1

ho controllato che non ci siano max o minimi in (2,2)(2,3)(-2,2)(-2,-3)(2,2) (2,3)(-2,-2)(-2,-3) punti esterni sulla retta y=(3/2)x
f(2,2)=0
f(-2,-2)=0
f(2,3)=-5
f(-2,3)=-5
quindi max assoluto 1 in (+-1;0)
min assoluto -5 in (+-2,+-3)
bounty14
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda TeM » 10/01/2017, 16:37

bounty14 ha scritto:Il dominio mi viene come in figura, ma io ho considerato le x
comprese tra -2 e 2 quindi mi vengono le punte del grafico tagliate.

In tal caso non hai tagliato solo le "punte", bensì gran parte di \(D\); infatti le \(x\) spaziano da \(-4\) a
\(+4\). Non individuando correttamente \(D\) il resto non può che essere sbagliato, mi pare evidente.

bounty14 ha scritto:Poi ho fatto il gradiente di f=0 in (0,2).

Suppongo che tu intenda che il gradiente di \(f\) si annulli in \((0,\,2)\). Se è così non ci siamo, hai sbagliato i conti.

bounty14 ha scritto:(0,2) ha un punto di sella perchè il determinante dell'Hessiana è < 0

Suppongo che tu intenda che \(f\) abbia un punto di sella in \((0,\,2)\). Fosse anche vero, ai fini dell'esercizio non
ha alcuna rilevanza. Dato che \(f\) è una funzione continua in \(D\), insieme chiuso e limitato, vale il teorema di
Weierstrass
e quindi, una volta determinati tutti i punti critici di \(f\) in \(D\) (fregandocene della loro natura) è
sufficiente individuare i punti di massimo assoluto e minimo assoluto per confronto (come nell'esempio sopra
linkato).

bounty14 ha scritto:Ho controllato che non ci siano max o minimi in [...]

Non avendo individuato correttamente \(D\) le considerazioni qui fatte non possono essere corrette.


A valle di tutto ciò, ho la netta sensazione che tu non abbia nemmeno letto una riga dell'esempio linkato, altrimenti non
avresti proceduto in questo modo! :evil: :evil: Eppure, copia-incollando tale procedimento cambiando esclusivamente i conti ...

Cominciamo con l'individuare i punti critici liberi per \(f\): \[ \nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} 2\,x = 0 \\ - 2\,y = 0 \end{cases} \] da cui si evince che \(f\) non presenta punti critici appartenenti all'interno verde di \(D\) (per \(x \ge 0\)).

Ora passiamo alla determinazione dei punti critici vincolati al bordo di \(D\) (per \(x \ge 0\)): \[
\begin{aligned}

& \gamma_1(t) = \left( 0,\,t \right) \; \; \text{per} \; t \in(-2,\,0) \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\partial}{\partial t} f\left( \gamma_1(t) \right) = \frac{\partial}{\partial t}\left( -t^2 \right) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \not\exists \, t \in (-2,\,0) \; ; \\

& \gamma_2(t) = \left( t, \, 2\,t-2 \right) \; \; \text{per} \; t \in(0,\,4) \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\partial}{\partial t} f\left( \gamma_2(t) \right) = \frac{\partial}{\partial t}\left(-3\,t^2 + 8\,t - 4 \right) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; t = \frac{4}{3} \in (0,\,4) \; ; \\

& \gamma_3(t) = \left( t,\, \frac{3}{2}\,t \right) \; \; \text{per} \; t \in(0,\,4) \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\partial}{\partial t} f\left( \gamma_3(t) \right) = \frac{\partial}{\partial t}\left( -\frac{5}{4}\,t^2 \right) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \not\exists \, t \in (0,\,4) \; ; \\

\end{aligned} \] da cui si evince che sul bordo blu di \(D\) (per \(x \ge 0\)) la funzione \(f\) presenta un punto critico: \(P_1 \equiv \left( \frac{4}{3},\,\frac{2}{3} \right)\),
a cui vanno aggiunti tutti gli spigoli rossi (per \(x \ge 0\)): \(P_2 \equiv (0,\,0)\), \(P_3 \equiv (0,\,-2)\), \(P_4(4,\,6)\).

Non rimane che valutare la funzione \(f\) in tutti e quanti i punti critici:
\[ f(P_1) = \frac{4}{3}, \; \; \; f(P_2) = 0, \; \; \; f(P_3) = -4, \; \; \; f(P_4) = - 20 \]e dal momento che vale il teorema di Weierstrass, per semplice confronto, possiamo decretare che: \[ \underset{D}{\min} f(\pm 4,\,\pm 6) = -20\,, \; \; \; \; \; \; \; \; \underset{D}{\max} f\left(\pm \frac{4}{3},\,\pm\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}\,, \] dove, naturalmente, sono stati tenuti da conto pure i punti simmetrici!

Come puoi vedere, nulla di apocalittico, basta applicare il "solito" algoritmo, che naturalmente va studiato! ;)


P.S.: come strumento di verifica è possibile interrogare WolframAlpha: vedasi qui e qui.
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda bounty14 » 10/01/2017, 16:57

Grazie mille, comunque io ho scritto la soluzione che avevo fatto ancor prima di iscrivermi al sito e vedere se c'era qualcosa di giusto, non ho ignorato il link, anzi lo ho guardato ed è spiegato molto bene.
Ripeto ho inserito la soluzione che avevo fatto in precedenza volevo vedere dove avevo sbagliato di preciso, grazie alla tua soluzione :)
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda TeM » 10/01/2017, 17:04

bounty14 ha scritto:Io ho scritto la soluzione che avevo fatto ancor prima di iscrivermi al sito e vedere se c'era qualcosa di giusto.

Va bene. :smt023

Alla fine di questa discussione dovresti aver capito come funzionano le cose in questo forum. Quindi, per rispar-
miare tempo e fatica (sia a te che a noi), la prossima volta posta il testo del problema copiando testualmente,
quindi di seguito scrivi la tua traccia risolutiva (piano, piano impara ad usare le formule, si eviteranno frainten-
dimenti). A quel punto sarà semplice correggerti ed eventualmente mostrarti la risoluzione corretta. ;)
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda bounty14 » 13/01/2017, 12:29

TeM posso chiederti quale programma hai utilizzato per il disegno del grafico?
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Re: Risoluzione completa esercizio det. max e min assoluti in eq in due variabili

Messaggioda TeM » 13/01/2017, 13:16

bounty14 ha scritto:Quale programma hai utilizzato per il disegno del grafico?

Wolfram Mathematica 11.0 :-)
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