Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Martoro » 09/01/2017, 23:29

Potreste gentilmente aiutarmi nella risoluzione del punto 2 (trovare il minimo coefficiente d'attrito) di questo problema?
Vi ringrazio in anticipo

Un corpo rigido è costituito da un disco omogeneo di massa m e raggio R al quale è collegata un’asta sottile omogenea AB, di massa m e lunghezza uguale al diametro del disco, disposta radialmente. Il corpo è appoggiato su un piano orizzontale scabro ed è inizialmente in quiete con l’asta in posizione verticale verso l’alto, come in figura; tuttavia, per una lievissima imprecisione nel posizionamento, il corpo comincia a muoversi e il disco rotola senza strisciare finché l’estremo B dell’asta urta il piano di appoggio.

Immagine

1) Calcolare, nell’istante dell’urto:
a) l’espressione letterale della velocità angolare del disco;
b) il modulo (in funzione della velocità angolare), la direzione e il verso della velocità
dell’estremo B dell’asta.
2) Determinare il valore numerico del minimo coefficiente di attrito statico che consenta il rotolamento senza strisciamento.

[R: 1a) $ 4 sqrt((mgR)/(3I_o) $ , 1b) $ sqrt(8) omega R $ verticale verso il basso, 2) 0.42]
Martoro
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 3
Iscritto il: 09/01/2017, 23:05
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Mac OS X Mac OS X

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Vulplasir » 10/01/2017, 14:53

Mmh nel punto 2) richiede il coefficiente d'attrito all'istnte iniziale? Perché se no la cosa non mi sembra per niente semplice
Una donna è molto simile a... un frigorifero! Sono alte circa 1 metro e 80, pesano 135 chili, fanno il ghiaccio, e...
Avatar utente
Vulplasir
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2718 di 2781
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze
Google Chrome Mobile 55.0.288 Google Chrome Mobile 55.0.288
Android Android

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Martoro » 10/01/2017, 16:25

Vulplasir ha scritto:Mmh nel punto 2) richiede il coefficiente d'attrito all'istnte iniziale? Perché se no la cosa non mi sembra per niente semplice

Ho riportato il testo integrale del problema e non vi sono altre indicazioni su in che istante calcolare il coefficiente d'attrito.
Ho tuttavia supposto che se non vi fosse attrito il punto di contatto con il terreno avrebbe accelerazione massima nell'istante prima dell'urto e dunque la forza d'attrito che deve opporsi a questa accelerazione, mantenendo fermo il punto di contatto per garantire il rotolamento, assume il valore più alto in questo istante. Questa supposizione ha tuttavia carattere puramente intuitivo e quindi è potenzialmente sbagliata...
Martoro
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 3
Iscritto il: 09/01/2017, 23:05
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Mac OS X Mac OS X

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Faussone » 10/01/2017, 17:58

Martoro ha scritto: Ho tuttavia supposto che se non vi fosse attrito il punto di contatto con il terreno avrebbe accelerazione massima nell'istante prima dell'urto e dunque la forza d'attrito che deve opporsi a questa accelerazione, mantenendo fermo il punto di contatto per garantire il rotolamento, assume il valore più alto in questo istante. Questa supposizione ha tuttavia carattere puramente intuitivo e quindi è potenzialmente sbagliata...

L'accelerazione massima in questo caso ce l'hai quando l'asta è orizzontale perché in quell'istante il momento delle forze esterne (dovuto al peso che puoi pensare applicato nel baricentro del sistema asta più disco)) ha momento massimo rispetto al punto di contatto tra disco e terreno.
Dalla seconda equazione cardinale puoi quindi calcolare quanto vale l'accelerazione angolare in quell'istante, da cui in condizioni di puro rotolamento trovi anche l'accelerazione orizzontale del disco (con l'asta attaccata). A quel punto applichi la prima equazione cardinale scrivendo che la forza orizzontale di attrito statico determina quell'accelerazione orizzontale, e quindi, essendo quella la massima forza orizzontale (perché legata alla massima accelerazione angolare), puoi calcolare il coefficiente di attrito statico richiesto.
Faussone
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3595 di 3597
Iscritto il: 03/09/2008, 12:44
Unknown Unknown
Unix Unix

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Martoro » 10/01/2017, 20:13

Faussone ha scritto:
Martoro ha scritto: Ho tuttavia supposto che se non vi fosse attrito il punto di contatto con il terreno avrebbe accelerazione massima nell'istante prima dell'urto e dunque la forza d'attrito che deve opporsi a questa accelerazione, mantenendo fermo il punto di contatto per garantire il rotolamento, assume il valore più alto in questo istante. Questa supposizione ha tuttavia carattere puramente intuitivo e quindi è potenzialmente sbagliata...

L'accelerazione massima in questo caso ce l'hai quando l'asta è orizzontale perché in quell'istante il momento delle forze esterne (dovuto al peso che puoi pensare applicato nel baricentro del sistema asta più disco)) ha momento massimo rispetto al punto di contatto tra disco e terreno.
Dalla seconda equazione cardinale puoi quindi calcolare quanto vale l'accelerazione angolare in quell'istante, da cui in condizioni di puro rotolamento trovi anche l'accelerazione orizzontale del disco (con l'asta attaccata). A quel punto applichi la prima equazione cardinale scrivendo che la forza orizzontale di attrito statico determina quell'accelerazione orizzontale, e quindi, essendo quella la massima forza orizzontale (perché legata alla massima accelerazione angolare), puoi calcolare il coefficiente di attrito statico richiesto.


GRAZIE!!! :D Davvero gentilissimo!
Solamente un dubbio:
La relazione finale risulta essere
$ N \mu = 2m (2mR^2g)/(I_o) $
Se la reazione vincolare del piano N è uguale in modulo alla forza peso, $ \mu $ ha il valore richiesto; questa supposizione (che se non erro implica un'accelerazione verticale nulla per il centro di massa) deriva da qualche deduzione?
Ovvero, la reazione vincolare del piano è necessariamente uguale in modulo alla forza peso?

Ti ringrazio ancora per il gentilissimo aiuto
Martoro
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 3
Iscritto il: 09/01/2017, 23:05
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Mac OS X Mac OS X

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Vulplasir » 10/01/2017, 21:26

Non sono tanto convinto.
Se si applica la seconda cardinale con polo di riduzione nel punto di contatto bisogna tenere conto del fatto che il momento di inerzia del sistema rispetto a quel punto varia col tempo, quindi non è valida la relazione : $M=I(d omega)/(dt)$, ma bisogna considerare:

$M=(d(Iomega))/(dt)=(dI)/(dt)omega+I(domega)/(dt)$, e da qui non vedo alcun modo per dedurre che l'accelerazione è massima quando l'asta è orizzontale.

Continuo a credere che il testo richieda il coefficiente minimo all'istante iniziale, anche perché ne ho visti tanti di esercizi simili e tutti chiedevano questo. Se no non vedo modi intuitivi per risolvere il problema se non quello di risolvere le equazioni del moto e determinare il moto del sistema, una volta noto si può trovare la forza d'attrito e la reazione vincolare in ogni istante e quindi il coefficiente minimo, ma non penso che chi ha proposto il test volesse questo, insomma va al di la delle richieste da fare a un compito d'esame medio.
Una donna è molto simile a... un frigorifero! Sono alte circa 1 metro e 80, pesano 135 chili, fanno il ghiaccio, e...
Avatar utente
Vulplasir
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2720 di 2781
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Windows 10 64 bits Windows 10 64 bits

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Faussone » 10/01/2017, 22:43

Martoro ha scritto:
GRAZIE!!! :D Davvero gentilissimo!
Solamente un dubbio:
La relazione finale risulta essere
$ N \mu = 2m (2mR^2g)/(I_o) $
Se la reazione vincolare del piano N è uguale in modulo alla forza peso, $ \mu $ ha il valore richiesto; questa supposizione (che se non erro implica un'accelerazione verticale nulla per il centro di massa) deriva da qualche deduzione?
Ovvero, la reazione vincolare del piano è necessariamente uguale in modulo alla forza peso?

Ti ringrazio ancora per il gentilissimo aiuto


Prego!
Riguardo la reazione normale, per non sbagliare si può calcolare la reazione normale nella posizione che interessa scrivendo la prima equazione cardinale per le forze orizzontali, considerando l'accelerazione verticale del centro di massa e la massa totale e vedere cosa viene fuori.


Vulplasir ha scritto:Non sono tanto convinto.
Se si applica la seconda cardinale con polo di riduzione nel punto di contatto bisogna tenere conto del fatto che il momento di inerzia del sistema rispetto a quel punto varia col tempo.....


No.Il moto di rotolamento puro è in tutto e per tutto assimilabile a una rotazione attorno al punto di contatto col piano e per quello il momento di inerzia del sistema è costante, quindi la soluzione proposta è valida.
Faussone
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3596 di 3597
Iscritto il: 03/09/2008, 12:44
Google Chrome Mobile 55.0.288 Google Chrome Mobile 55.0.288
Android Android

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Vulplasir » 10/01/2017, 23:18

No.Il moto di rotolamento puro è in tutto e per tutto assimilabile a una rotazione attorno al punto di contatto col piano e per quello il momento di inerzia del sistema è costante, quindi la soluzione proposta è valida.

Eh no, questo vale solo col disco, dato che il suo momento di inerzia non varia durante la rotazione, ma se ci metti un'asta non vale più. infatti la distanza tra il baricentro dell'asta e il punto di contatto varia nel tempo e quindi per il teorema di huygens-steiner varia anche il momento d'inerzia dell'asta rispetto al punto di contatto, pertanto quando si deriva il momento angolare bisogna derivare anche il momento di inerzia del sistema. Una prova di questo fatto è data semplicemente applicando la conservazione dell'energia, e quindi derivando l'energia del sistema rispetto al tempo si ottiene come equazione dl moto $ddottheta$ in funzione di $dottheta^2$ e $theta$, mentre usando la seconda cardinale come dici te si ottiene come equazione del moto $ddottheta$ in funzione solo di $theta$, ovviamente il metodo dell'energia è giusto, quindi quello della seconda cardinale deve essere sbagliato. Infatti facendo come dico io si ottengono gli stessi risultati, ma ovviamente non è un caso, è proprio il fatto che $L=Iomega$ e quindi $(dL)/(dt)=d(Iomega)/(dt)=(dI)/(dt)omega+I(domega)/(dt)$
Una donna è molto simile a... un frigorifero! Sono alte circa 1 metro e 80, pesano 135 chili, fanno il ghiaccio, e...
Avatar utente
Vulplasir
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2721 di 2781
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Windows 10 64 bits Windows 10 64 bits

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda Faussone » 10/01/2017, 23:59

Evidentemente sto perdendo colpi non c'è che dire.... :(
Ho voluto rispondere al volo e ho capito dopo aver postato a quello che intendevi.

Giusto quel ragionamento era troppo semplicistico, chiedo scusa per aver dato indicazioni fuorvianti.
Credo anche io che a questo punto il problema sia molto più complesso come livello e non risolvibile in modo semplice.
Faussone
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3597 di 3597
Iscritto il: 03/09/2008, 12:44
Google Chrome Mobile 55.0.288 Google Chrome Mobile 55.0.288
Android Android

Re: Problema meccanica del corpo rigido

Messaggioda professorkappa » 12/01/2017, 15:28

Ma qualcuno ha verificato i risultati?
Perche a me torna solo il punto 2, ma il primo e il terzo non tornano.
"La pazienza ha un limite. Ma e' quando assisto ad esami di Analisi come il tuo che mi accorgo che anche i limiti hanno tanta pazienza". Prof. G. Torrigiani, Universita' di Pisa durante un esame di uno studente che tartassava un limite con operazioni troppo audaci
professorkappa
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2150 di 2167
Iscritto il: 05/10/2014, 06:41
Google Chrome 55.0.288 Google Chrome 55.0.288
Windows 8.1 64 bits Windows 8.1 64 bits

Prossimo

Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Eulercio, Google Adsense [Bot], irelimax, maxpix, mgrau, Paak07 e 27 ospiti