Densità marginale

[lukath]

Ciao a tutti, avrei qualche dubbio su questo esercizio...

Mi vengono date due variabili aleatorie $X,Y$ assolutamente continue e i.i.d., con densità

$f(z)=1/z^2 1_{[1,+\infty)}(z)$

Sono definite inoltre $U=XY$ e $V=X$. L'esercizio richiede di:

1. Calcolare la densità congiunta di $(U,V)$.
2. Calcolare la densità marginale di $U$.
3. Calcolare $prob(X>2|U<=2)$.
4. Stabilire se $U$ e $V$ sono indipendenti.

Il primo punto l'ho risolto con il metodo dello jacobiano, ottenendo $f_{(U,V)}(u,v)=1/(vu^2)1_{[v,+\infty)\times[1,+\infty)}(u,v)$.
Il problema sorge dal punto 2... la densità marginale di $U$ viene $f_U(u)=+\infty$ e non ho idea di come trattarla.
Anche perché in ogni caso, se non ho capito male, $prob(X>2|U<=2)=0$ anche se $U$ avesse una densità definita da una funzione, visto che $X>2$ e $Y>=1$ dunque $U=XY$ non potrà mai essere minore o uguale a 2... quindi, visto che $V=X$ mi verrebbe da dire che $U$ e $V$ non sono indipendenti, poiché la probabilità condizionata calcolata prima non è uguale alla sola $prob(X>2)$... è giusto? Come si tratta un caso in cui una densità è infinita?

[tommik]

Hai sbagliato ad integrare la $f(u,v)$. Quando integri sul dominio di $v$ devi tener conto che $v<u$

${{: ( U=XY ),( V=X ) :}$

quindi $U>V$

e quindi la congiunta diviene

$f(u,v)=1/(u^2v)$; $1 <V <U <oo $

e la marginale diventa

$f_(U)(u)=int_(1)^(u)1/(u^2v)dv=(logu)/u^2I_((1;oo))(u)$

ora dovresti saper continuare da solo....se non riesci domani ti indico la strada

[lukath]

Mmm quindi alla fine il dominio della funzione indicatrice è lo stesso, solo che inverto le integrazioni?

[tommik]

Mmm quindi alla fine il dominio della funzione indicatrice è lo stesso, solo che inverto le integrazioni?

Questo è il grafico del dominio della congiunta $(u,v)$



il dominio di $V$ è $V in (1;u)$

mentre il dominio di $U$ è $U in (v;+oo)$

così vedi che tutto torna

$f(v)=1/v^2 I_((1;oo))(v)$

(e che ti risolve già il punto 4).....dimmi se hai bisogno per l'altro ma non penso.

inoltre ti svelo un trucchetto: condizione necessaria affinché due variabili siano indipendenti è che il dominio sia rettangolare.

[lukath]

Giusto per capirci, il punto 3 si risolve come avevo scritto sopra? Comunque grazie mille di tutto

[tommik]

Ovviamente Sì.
Scusa ma non avevo letto la tua soluzione. ..mi ero fermato al punto precedente.

Il resto è chiaro?

[lukath]

Sì il resto è chiarissimo come sempre, grazie mille