Cinquine al gioco della Tombola

[superpippone]

Proverò a pensarci su......

Per intanto posso dirti che le cinquine possibili (al lotto) sono $43.949.268$, mentre le cosiddette cinquine (ovvero stringhe di 5 numeri) alla tombola (o bingo) sono molte meno.

Esattamente:

$10^5*(7!)/(5!*2!)+9*10^4*(7!)/(4!*3!)+11*10^4*(7!)/(4!*3!)+9*11*10^3*(7!)/(4!*3!)$

$2.100.000+3.150.000+3.850.000+3.465.000=12.565.000$

[axpgn]

@Harry
Capisco il tuo desiderio di trovare una soluzione "matematica" (e, in generale, è anche il mio intendimento) ma sinceramente in questo caso mi pare molto più sensato e realistico (dato il più ultimo post (prova a rileggerlo) e vista la quantità (relativamente esigua) di cartelle da generare) andare di "forza bruta": generi e scarti, generi e scarti ... fai molto prima e con meno fatica ...

Cordialmente, Alex

[HarryGPotter]

Grazie infinite SuperPippone!
Non ci crederai ma io le avevo contate al pc e m’era venuto fuori proprio 12.565.000!
Confesso che non avevo la formula e non c’ero arrivato. Solo guardandola per un po’ ora che l’hai postata ne ho capito il senso.
Consideriamo come son fatte le cartelle della tombola: griglie di 9 colonne per tre righe. Su ciascuna riga ci sono 5 numeri, ovvero 4 spazi vuoti e 5 invece pieni. I numeri negli spazi pieno possono essere da 1 a 9 se siamo in prima colonna, da 10 a 19 se siamo in seconda colonna, da 20 a 29 se siamo in terza e così via fino alla nona colonna, che può ospitare i numeri da 80 a 90.
C’è quindi differenza tra i numeri che possono esser messi in prima colonna (9, da 1 a 9, appunto), quelli che possono esser messi nelle colonne tra la seconda e l’ottava (10 numeri) e quelli che possono essere messi in ultima colonna dove, essendo possibili i valori dall’80 al 90, abbiamo 11 valori possibili.
Possiamo quindi calcolare quante sono le cinquine della tombola possibili sommando:
1) Il numero di cinquine che si possono avere con numeri solo in 5 delle 7 colonne dalla seconda alla ottava, ovvero in 5 colonne nelle quali sono possibili 10 valori;
2) Il numero di cinquine che si possono avere con un numero in prima colonna (scelto tra nove) e 4 numeri in 4 delle 7 colonne dalla seconda alla ottava;
3) Il numero di cinquine che si possono avere con un numero in nona colonna (scelto tra 11 possibili) e 4 numeri in 4 delle 7 colonne dalla seconda alla ottava;
4) Il numero di cinquine che possono avere con un numero in prima colonna, tre numeri in tre delle 7 colonne dalla seconda alla ottava, un numero in nona colonna (quindi scelto tra 11 possibili).
I quattro addendi della formula che posti corrispondono a queste possibilità… e fin qui credo di avere tutto abbastanza chiaro.
Ora il difficile è “estrarre” da questo insieme di cinquine quelle che tra di loro sono “più distanti”, ovvero “hanno meno numeri in comune” … o per lo meno sapere quante se ne possono estrarre massimo affinché non abbiamo più di X numeri in comune… mi ci sto arrovellando da tempo… ma prima o poi qualcosa tirerò fuori…

Ancora grazie infinite per la considerazione.
Harry

[superpippone]

Se può esserti utile, ti aggiungo questo:

I numeri da 1 a 9 compaiono ciascuno in $735.000$ cinquine;
I numeri da 10 a 79 compaiono ciascuno in $698.500$ cinquine;
I numeri da 80 a 90 compaiono ciascuno in $665.000$ cinquine.

Infatti: $9*735.000+70*698.500+11*665.000=5*12.565.000$