) con la speranza che qualcuno possa aiutarmi:Calcola i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=9x^2+y^2+5 $ sotto il vincolo $ xy+x+1/3y=1 $ . Applica la condizione dell'Hessiano Orlato.
Sia la funzione che il vincolo sono definiti in tutto $ R^2 $ , quindi entrambe le funzione sono di classe almeno $ C^2 $ .
Per la condizione di vincolo qualificato $ R=(gradg(bar(x)))=k $ vincoli si ha $ R=([ ( y+1 ),( x+1/3 ) ] )=1 $ , che si annulla solo in (-1/3,-1). Il vincolo è dunque qualificato in tutto R tranne che nel punto stazionario libero individuato.
La funzione lagrangiana è $ L(x,y,z)=gradf(x,y)+lambda gradg(x,y)=[ ( 18x ),( 2y ) ] +lambda [ ( y+1 ),( x+1/3) ]=[ ( 0 ),( 0 ) ] $ .
Imposto il sistema:
$ { ( 18x+lambda (y+1)=0 ),( 2y+lambda (x+1/3)=0 ),( xy+x+1/3y=1 ):}->{ ( 18x+lambday+lambda=0 ),( 6y+3lambdax+lambda=0 ),( 3xy+3x+y=3 ):} $
Sottraendo la seconda equazione alla prima ottengo $ (y-3)(lambda -6)=0 $ , da cui concludo che i primi due punti stazionari per la lagrangiana sono (1/3,1,-3) e (-2/3,-2,-12).
Rimarrebbe il secondo caso: $ lambda -6=0 $ . Andando a sostituire nel sistema trovo 0=0 per entrambe le equazioni: devo concludere che vi sono infiniti punti stazionari? Come applico la condizione dell'Hessiano Orlato in questo caso?
Grazie infinite a chiunque vorrà aiutarmi
