Gravità satellite

Messaggioda або » 16/01/2017, 20:48

Ciao a tutti, il problema è questo.

Un satellite artificiale si muove su un'orbita circolare ad altezza $h = 560 km$ sopra la superficie terrestre. Il periodo di rivoluzione è di $92$ minuti. Determinare il valore dell'accelerazione di gravità sull'orbita.

Io procedo così: sul satellite agisce la forza di gravità, che ne determina l'accelerazione centripeta, quindi posso scrivere

$gamma(M_TM_S)/R^2 = M_Somega^2R$
($R = h + R_T$)

Sostituendo la velocità angolare e semplificando le masse ho $gammaM_T = 4pi^2R^3/T^2$
Per un corpo appoggiato sul satellite vale $mg = gamma(M_Sm)/r^2$

Il problema è che non so da dove ricavare la massa del satellite visto che nella prima equazione si semplifica. Sono sicuro che mi sta sfuggendo qualcosa di ovvio :?
або
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Re: Gravità satellite

Messaggioda mgrau » 16/01/2017, 20:59

Cosa ti serve la massa del satellite? L'accelerazione di gravità a 560 km da terra è quella che è, la massa del satellite è ininfluente. E, incidentalmente, è proprio l'accelerazione centripeta che hai trovato. Il problema termina qui. Cosa servano il resto dei conti, non lo capisco proprio.
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Re: Gravità satellite

Messaggioda Shackle » 16/01/2017, 21:09

Determinare il valore dell'accelerazione di gravità sull'orbita.


Io interpreto questa domanda, nel senso che vuol sapere quanto vale l'accelerazione di gravità in un punto che si trova a distanza $R = R_T +h$ dal centro della terra . Allora :

1) a terra , hai : $g = G M_T/R_T^2 $

2) a distanza $R$ , hai : $ g' = GM_T/R^2 $

perciò : $(g')/g = (R_T/R)^2 $

il periodo di 92 minuti non c'entra, è una conseguenza dell'uguaglianza tra forza centripeta e attrazione gravitazionale. E naturalmente non c'entra neanche la massa del satellite.
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Re: Gravità satellite

Messaggioda mgrau » 16/01/2017, 21:19

Shackle ha scritto:
perciò : $(g')/g = (R_T/R)^2 $

il periodo di 92 minuti non c'entra, è una conseguenza dell'uguaglianza tra forza centripeta e attrazione gravitazionale. E naturalmente non c'entra neanche la massa del satellite.


Giusto, ma forse a6o, a quel che sembra, non voleva basarsi su g ma solo sulla costante di gravità $\gamma$
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Re: Gravità satellite

Messaggioda або » 16/01/2017, 23:05

Ciao, grazie per le risposte. In effetti io mi sono arrovellato per risolvere il problema buttandoci dentro il periodo in qualche modo, non avevo pensato potesse essere un dato inutile :?
quindi mi sono rifatto al "classico" calcolo di g terrestre che usa la prima equazione per ricavare $M_T$ e la seconda per ricavare l'accelerazione di gravità sulla superficie.

E' possibile riscrivere la prima equazione considerando la forza di gravità esercitata sulla terra dal satellite, per avere $gammaM_TM_S/R^2 =M_Tomega^2R$? In questo modo posso ricavare la massa del satellite e trovare g sull'orbita...

in ogni caso il tuo procedimento,Shackle, è decisamente quello da seguire... mi chiedo solo se c'è un modo di procedere che usi tutti i dati!
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Re: Gravità satellite

Messaggioda Shackle » 17/01/2017, 00:13

LA forza di attrazione gravitazionale tra terra e satellite, data da $G (M_tM_s)/R^2$ , obbedisce al principio di azione e reazione. Quindi l'attrazione che il satellite esercita sulla terra è uguale e contraria a quella che la terra esercita sul satellite. Si può dire questo : quando scrivi che la attrazione gravitazionale esercitata sul satellite è la forza centripeta, e cioè :

$G (M_tM_s)/R^2 = M_s\omega^2R$

puoi semplificare la massa del satellite , e quindi :
$G M_t/R^2 = \omega^2R$
Questa non è altro che l'accelerazione di gravità $g'$ esercitata dalla terra alla distanza $R$ , uguale all'accelerazione centripeta subita dal satellite : $g' = a_c $

Qui puoi ora utilizzare il periodo di rotazione del satellite scrivendo : $\omega^2 = (4\pi^2)/T^2$ , e moltiplicando per $R$ ricavare la $g'$ sull'orbita direttamente :

$g' = G M_t/R^2 = (4\pi^2)/T^2R = a_c$

cosí hai utilizzato i dati in tuo possesso , cioè $R=R_t+h$ e il periodo $T$ , senza passare attraverso il valore di $g$ a terra.

Dall'uguaglianza : $g' = a_c = v^2/R $ , in cui $v$ è la velocità tangenziale del satellite , si ricava che : $v^2 = g'R$ , cioè :
$v= sqrt(g'R)$ . Questa è la prima velocita cosmica .
La stazione spaziale internazionale , che si trova in media a circa 400 km dalla terra , impiega una novantina di minuti a descrivere un'orbita . Quante albe e quanti tramonti in un'orbita !
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Re: Gravità satellite

Messaggioda або » 17/01/2017, 11:17

Perfetto! Grazie mille per la spiegazione, e per quel tocco di poesia alla fine :lol:
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