[tex]\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\frac{\sin(x)}{x}-\cos(\frac{x}{\sqrt{3}})}{x\sin(x+x^{2})-x^{2}e^{x^{2}}}[/tex]

[Caterpillar]

Devo calcolare
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin(x)}{x}-\cos(\frac{x}{\sqrt{3}})}{x\sin(x+x^{2})-x^{2}e^{x^{2}}} \)
Wolfram Alpha dice che il risultato è 0, tuttavia io ottengo un altro risultato. Ecco la procedura da me seguita

Dato che
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow}\frac{\sin(x)}{x}=1 \)
e che per gli sviluppi di McLaurin
\( \displaystyle \cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2n+1}) \) allora \( \displaystyle \cos(\frac{x}{\sqrt{3}})=1-\frac{x^{2}}{6} \)
\( \displaystyle \sin(x)=x+o(x^{2n+2}) \) allora \( \displaystyle \sin(x+x^{2})=x+x^{2} \)
\( \displaystyle e^{x}=1+x+o(x^{n}) \) allora \( \displaystyle e^{x^{2}}=1+x^{2} \)

applicando il tutto, viene

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin(x)}{x}-\cos(\frac{x}{\sqrt{3}})}{x\sin(x+x^{2})-x^{2}e^{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-1+\frac{x^{2}}{6}}{x(x+x^{2})-x^{2}(1+x^{2})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{6[x(x+x^{2})-x^{2}(1+x^{2})]}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{6[x^{2}+x^{3}-x^{2}-x^{4}]}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{6[x^{3}-x^{4}]}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{6[x^{3}(1+o(1))]}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{6x^{3}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{6x}=\infty \)

Dove ho sbagliato?

[Antimius]

Il problema è che non tieni conto dell'ordine degli sviluppi. Quando fai i conti, devi portarti appresso anche gli o-piccoli, altrimenti rischi di elidere quantità di ordini diversi. Ad esempio nel tuo caso, c'è almeno un $o(x)$ al numeratore e questo non ti avrebbe permesso di fare la semplificazione che hai fatto alla fine. Infatti,
$$\frac{x^2+o(x)}{6(x^3-x^4)+o(x^2)} = \frac{x + o(x)/x}{6(x^2-x^3)+o(x^2)/x}$$
Ma questa è ancora una forma indeterminata e, raccogliere ulteriormente la $x$ non aiuta perché ci sarebbe un $\frac{o(x)}{x^2}$. Come faccio allora a scioglierla? Provo con uno sviluppo di ordine superiore

[Caterpillar]

[tagliato]

Grazie per l'esaustiva spiegazione, in maniera particolare per quanto riguarda le operazioni ammesse e non, tra i limiti
Mi sono studiato l'algebra degli o piccolo sul libro Edizioni Tecnos 41: confronti asintotici - Esercizi
Al che ho proseguito nella seguente maniera. Perdonate l'eccessiva verbosità ma ci tenevo a mostrare i miei passaggi sugli o piccoli.
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o(x^{5})}{x}-(1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{216}+o(x^{4}))}{x(x+x^{2}+o(x^{2}))-x^{2}(1+x^{2}+o(x^{2}))}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+o(\frac{x^{5}}{x})-1+\frac{x^{2}}{6}-\frac{x^{4}}{216}+o(x^{4})}{x^{2}+x^{3}+o(x^{3})-x^{2}+x^{4}+o(x^{4})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+o(x^{4})-1+\frac{x^{2}}{6}-\frac{x^{4}}{216}+o(x^{4})}{x^{2}+x^{3}+o(x^{3})-x^{2}+x^{4}+o(x^{4})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^{4}}{270}+2o(x^{4})}{x^{3}+o(x^{3})+x^{4}+o(x^{4})}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^{4}}{270}+o(x^{4})}{x^{3}+o(x^{3})}\simeq\lim_{x\rightarrow0}x+o(x)=0 \)
In maniera particolare mi interessa sapere se c'è qualcosa di errato nel passaggio
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^{4}}{270}+o(x^{4})}{x^{3}+o(x^{3})}\simeq\lim_{x\rightarrow0}x+o(x) \)

[Albirz]

Scusate l'intromissione...potresti dirmi perchè non è vero che 2x^3+sinx−x∼2x^3 ??

[Albirz]

Si, io avevo letto tutto quanto scritto sopra. Volevo solo sapere perchè non valeva quella equivalenza, cioè perchè il limite di quelle due funzioni non era 1. Ho provato a fare il limite, farò di sicuro qualche errore ma mi viene uno...

[Albirz]

Avevo diviso numeratore e denominatore per x e usando il limite notevole mi veniva 1. Non so scrivere adesso in latex, sto ancora imparando.
In pratica $ (2x^3+sinx-x)/(2x^3) $, dividevo per x e rimaneva $ (2x^2 + sinx/x-1)/(2x^2) $, cioè $( 2x^2)/(2x^2) $, dunque 1.

[Albirz]

Io non ho ancora cominciato a studiare gli infinitesimi e i metodi di sostituzione tra inifnitesimi equivalenti. Avevo provato a risolvere il limite mediante solo qualche trucchetto algebrico e ricorso a limiti notevoli come $ sinx/x $
Potrei sapere per favore dove ho sbagliato, cioè perchè non posso sostituire a $ sinx/x $ il suo valore. Non sarebbe un limite notevole?
P.S: Sono ai primi passi quindi dispongo di meno strumenti ed esperienza...scusa se ti disturbo

[Caterpillar]

Non so scrivere adesso in latex, sto ancora imparando.

Ho preso spunto da questa tua difficoltà per scrivere il seguente post viewtopic.php?f=18&t=26179&p=8252547#p8252547