Equazione differenziale a variabili separabili

[fabiett]

Buonasera! Non riesco a ricondurmi alla forma $(dy)/(dx) = g(x)y(x)$ considerando la seguente funzione integrale $xy' -3y +1=0$... Qualche spunto? Ho provato a portare tutto a secondo membro eccetto y' e dividere tutto per x ma mi sembra di non concludere...

[cooper]

$ xy'=3y-1 rArr y'=(3y-1)/x rArr (y')/(3y-1)=1/x $

[fabiett]

Perfetto, fino a lì c'ero arrivato. Io poi ho sviluppato così:
$ (dy)/(dx)=1/x*(3y-1)rArr1/3int_()^() 1/(y-1)dy = int_()^() 1/xdx rArr log|y-1| = log|x|+c rArr (y-1)^(1/3)=x+c rArr y=(x+c)^3-1 $
Tuttavia, il risultato è:
$ y=1/3+cx^3 $

[cooper]

il risultato fornito è corretto. perchè hai portato fuori $1/3$ così? o lo raccoglievi o lo facvi saltar fuori moltiplicando e dividendo per 3. ma così come hai fatto è sbagliato.
$ 1/3int (3 dy)/(3y-1)=int 1/x dx $ oppure ancora come credo volessi fare tu $ 1/3int ( dy)/(y-1/3)=int 1/x dx $

[fabiett]

Sono giunto a questo:
$ 1/3log|3y-1|=log|x|+c rArr 3y-1 = (x+c)^3 rArr y=1/3+(x+c)^3/3 $
Ma $(x+c)^3$ come concludo che è uguale a $cx^3$?

[cooper]

$ e^(log|x|+c) = e^(log|x|) e^c =xe^c $
Infine la costante la chiami come vuoi..

[fabiett]

Grazie!