"definire" in modo puramente insiemistico \(f+g\), \(\alpha \, f\)

[garnak.olegovitc]

prendiamo due elementi \(f,g\in V^M\), ovvero \( f,g: M\to V\) con \(V\) un \(C\)-spazio vettoriale ed \(M \) un insieme qualsiasi...

intuitivamente \(f+g \in V^M\) é la funzione tale che \( \forall x \in M: (f+g)(x)=f(x)+g(x)\), stamani provavo con colleghi di cercare una definizione puramente insiemistica ovvero come insieme di coppie ordinate e non facendo ricorso nemmeno al concetto di immagine di un elemento. Ma non riesco a venirne a capo, naturalmente deve essere possibile ed ora come ora é solo una questione di principio riuscire a ricavarla, qualcuno puö aiutarmi in merito o fornirmi un input?... Io ho ricavato una cosa del genere \(f+g:=\{x|\exists r,s:(x=(r,s) \wedge s=f(r)+g(r))\}\) ma non devo usare il concetto di immagine e poi mi sembra una cosa abbozzata quanto brutta a vedersi! ...

[Martino]

Scusa ma $f+g = \{(x,f(x)+g(x))\ :\ x \in M\}$ non va bene?

[garnak.olegovitc]

È la forma compatta di quello che avevo scritto, ma usiamo il simbolo per le immagini di \(x\) sia rispetto ad \(f\) che \(g\), inoltre anche l´immagine rispetto ad \(+\)....

[Martino]

Cioè anziché $a+b$ vuoi scrivere "la seconda componente dell'elemento di + che ha $(a,b)$ come prima componente"?

[garnak.olegovitc]

Cioè anziché $a+b$ vuoi scrivere "la seconda componente dell'elemento di + che ha $(a,b)$ come prima componente"?

mi sembra di non avere capito, dopo tanti tentativi intendo questo e correggimi se sbaglio:

\(f+g:=\{x|\exists r,s:(x=(r,s)\wedge \exists p,q: ((r,p)\in f\wedge (r,q)\in g\wedge ((p,q),s) \in +))\}\)

funziona? Se si, trovo la cosa mostruosa ma curiosa..

ps: ho riletto ora il tuo ultimo commento... e si, ho fatto mi sembra come avevi ipotizzato

[Martino]

\(f+g:=\{x|\exists r,s:(x=(r,s)\wedge \exists p,q: ((r,p)\in f\wedge (r,q)\in g\wedge ((p,q),s) \in +))\}\)

funziona? Se si, trovo la cosa mostruosa ma curiosa..

Sì secondo me funziona

[garnak.olegovitc]

@Martino,
ti ringrazio se mi confermi anche questa oramai , prendo un \(\alpha \in C\):

\(\alpha \, f:=\{x|\exists r,p:(x=(r,p) \wedge \exists q:((r,q)\in f \wedge ((\alpha,q),p)\in \cdot))\}\)