un esercizio mi chiede di determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
\(\displaystyle
y''-4y-8e^{2x}=0
\)
y''-4y-8e^{2x}=0
\)
l'ho risolta con il metodo di Lagrange e mi viene:
\(\displaystyle
\Phi(c_1,c_2,x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{-2x}+ 2x e^{2x}- \frac{1}{2} e^{2x}
\)
\Phi(c_1,c_2,x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{-2x}+ 2x e^{2x}- \frac{1}{2} e^{2x}
\)
poi chiede: fissato \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), sia \(\displaystyle x \mapsto \Phi_\alpha (x) \) la soluzione del problema di Cauchy
\(\displaystyle
\begin{cases}
y''-4y-8e^{2x}=0\\
y(0)=0, y'(0)=\alpha
\end{cases}
\)
\begin{cases}
y''-4y-8e^{2x}=0\\
y(0)=0, y'(0)=\alpha
\end{cases}
\)
e si consideri il limite \(\displaystyle l (\alpha)=\lim_{x\to -\infty}{ \Phi_\alpha (x)} \). Determinare se esiste \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle l (\alpha)=0 \) ed in tal caso si fornisca la soluzione.
Non riesco proprio a capire la seconda parte, qualcuno può illuminarmi? Grazie!
