Esercizio di meccanica

[ulukranz]

Salve a tutti. Sono alle prese con questo esercizio di meccanica.

Si imprime ad una palla da biliardo di massa $M$ e raggio $R$ una velocità di scivolamento (senza rotazione) $v_0$ su un tavolo da biliardo orizzontale. Il coefficente di attrito fra il tavolo e la palla è $mu$.

(a) Dopo quanto tempo la palla inizia a rotolare senza scivolare? quanto spazio ha percorso?
(b) Qual è il valore della sua velocità $v$ in quel punto? Si determini quanta energia è stata dissipata a a partire dall'istante iniziale.
(c) A quale altezza rispetto al tavolo si deve dar un colpo di stecca orizzontale in modo che la palla rotoli fin da subito senza scivolare?

Per il punto (a) posso scrivere una sola equazione...
$-mumg = ma$ da cui $a = -mug$
Dunque lo spazio percorso è $v_0^2/(2mug)$.
Tuttavia la soluzione riporta che $d = ((k(2+k))/(1+k)^2)v_o^2/(mug)$. Non capisco dove va a prendere quella costante ($k$ dovrebbe essere, per la sfera, $2/5$).
Qualcuno può darmi una mano?

[Vulplasir]

La sfera inizia a rotolare senza scivolare quando c'è "coordinazione" tra la sua velocità di traslazione e quella di rotazione

[ulukranz]

Ok, quindi nella pratica deve valere che $omega_f = v_0/R$. Ma continuo a non capire come usare questo fatto.
Forse dovrei usare la legge $2alphaDeltatheta = omega_f^2 - omega_i^2$ tenendo conto di sopra e che $omega_i = 0$?

[Vulplasir]

No, la velocità iniziale è $v_0$, ma la velocità $v$ in cui si instaura il puro rotolamento non si sa qual è, si sa solo che nell'istante in cui si instaura il puro rotolamento deve valere $v/R=omega$ essendo $omega$ la velocità angolare in quell'istante.
Conosci l'accelerazione delle sfera dovuta alla forza d'attrito, conosci l'accelerazione angolare della sfera dovuta al momento della forza d'attrito rispetto al centro della sfera, scrivi le leggi orarie di traslazione e rotazione e quindi imponi $v/R=omega$

[ulukranz]

Nell'istante in cui comincia il moto di rotolamento posso imporre anche che $alpha = a/R$ giusto?

[ulukranz]

Allora ricapitolando: ho la velocità iniziale e so che quella finale deve valere $omegaR$.
Ho la decelerazione che subisce durante il moto di scivolamento, che è in modulo $mug$, e so che l'accelerazione angolare è data da $a/R$.

La legge oraria da cui ricavare il tempo è $d = 1/2at^2 + v_0t$, però ho ancora come incognita la distanza, che devo ricavare da $2ad = v_f^2 - v_0^2$. Però anche qui ho due incognite, la distanza e la velocità, ma so che la velocità finale deve essere $omegaR$... il punto è, come trovo $omega$? Non lo posso ricavare da $2alphatheta = omega^2$ altrimenti entro in un circolo vizioso di equazioni a due incognite...

ho l'impressione di essermi perso in un bicchier d'acqua... ti ringrazio se vorrai aver un attimo di pazienza

[Vulplasir]

No, l'approccio è completamente sbagliato, non serve nessuna formula in fisica, i problemi si risolvono con poco più che le leggi di newton e semplici passaggi analitic.

Nel tuo caso hai una forza orizzontale d'attrito radente f opposta al moto della sfera, quindi si ha:

$ma=-f=-mumg$, dove $a$ è l'accelerazione del centro della sfera.

Questa forza d'attrito f fa anche momento rispetto al centro della sfera, quindi vale:

$fR=Ialpha$

Dove $alpha$ è l'accelerazione angolare della sfera, e I è il momento d'inerzia della sfera rispetto al suo centro.

Quindi puoi scrivere:

$v=v_0+at$
$omega=alphat$

E quindi trovare $t_0$ tale che $v=omegaR$

Una volta trovato l'istante $t_0$ in cui si forma il puro rotolamento, dalla relazione:

$d=v_0t_0+1/2at_0^2$ trovi la distanza percorsa

[ulukranz]

Hai ragione, mi sono ridotto a cercare di incastrare le formule anziché ragionare. Di solito non lo faccio, devo avere il cervello in pappa per il troppo studio
grazie mille comunque per il tuo aiuto

[Shackle]

Aspettate un momento, ragazzi .

Il moto si compone di due parti : nella prima parte, la palla striscia senza rotolare sul piano scabro, quindi trasla soltanto, con una velocità di traslazione che , a causa dell' attrito col piano, diminuisce dal valore $v_0$ ad un certo valore $v_f$ (da determinare) perchè la palla perde energia cinetica nello strisciamento. In questa prima parte, non si può parlare di rotazione e quindi di velocita angolare e accelerazione angolare, che sono nulle.
Nella seconda parte del moto, la velocità di traslazione rimane costante, e pari in valore a $v_f$ , e la palla si mette a rotolare senza strisciare, cioè il moto diventa rotolamento puro , composto di traslazione con velocita $v_f$ e rotazione con velocita angolare $\omega_f = v_f/R $ . Durante tutta la seconda parte del moto, sia $v_f$ che $\omega_f$ non cambiano più (teoricamente, ricordiamocelo sempre ! ) .

Come si fa a determinare la velocità $v_f$ di "fine strisciamento" ?
L'unica forza agente, nella prima parte, è la forza di attrito $f = \mumg$ , diretta in verso contrario al moto. Ma non bisogna considerarne il momento rispetto al centro sfera , altrimenti avremmo l'assurdo di una accelerazione angolare che farebbe aumentare la velocità angolare da zero, invece abbiamo detto che nella prima parte la palla striscia soltanto. E allora, come si fa ?
Prendiamo come polo un punto qualsiasi del piano di strisciamento. La forza di attrito ha momento nullo rispetto a questo polo. Se calcoliamo il momento angolare della palla rispetto a questo polo, esso deve rimanere costante , essendo nullo il momento dell' unica forza esterna ( peso e reazione si fanno equilibrio) .
Dunque si può scrivere che il momento angolare iniziale , rispetto al polo detto , è costante in tutto il moto. Perciò :

$mv_oR = mv_fR + I\omega_f = mv_f R + 2/5mR^2v_f/R = 7/5mv_fR$

da cui : $ v_f = 5/7v_0$ .

Ecco determinata la velocità finale del percorso con solo strisciamento.

Durante la prima parte, in cui l'accelerazione è contraria al moto, si ha quindi :
$ddotx = -\mug$
$dotx = v = v_0 - \mug*t$

la durata $\bart$ dello strisciamento si ricava da : $5/7v_0 = v_0 - \mug\bart$ , cioè risulta : $\bart = 2/7 v_0/(\mug)$

lo spazio percorso nello strisciamento è dato da : $ x = v_o\bart - 1/2 \mug\bart^2 = (12)/(49)v_0^2/(\mug)$

la velocità angolare del rotolamento puro è : $\omega_f = v_f/R$
L'accelerazione angolare , prodotta dalla forza di attrito nell'istante finale della fase di strisciamento , vale :
$\alpha = 5/2(\mug)/R$ . Ma quando si instaura il rotolamento puro, l'accelerazione angolare va a zero.

infine, nello strisciamento l'energia perduta vale : $\Delta E = 1/2mv_0^2 - (1/2mv_f^2 + 1/2 I\omega_f^2) = 1/7 mv_0^2$

Come detto, teoricamente nel rotolamento puro le velocità di traslazione e di rotazione non cambiano, e neanche l'energia cambia . Risulta infatti , nel caso in esame :

$E_0 = 1/2mv_0^2 $ ( all'istante iniziale dello strisciamento)
$E_f = (1/2-1/7 )mv_0^2 = 5/(14)mv_0^2 = 5/7E_0$ ( durante il rotolamento puro)

Per la domanda c) ....pensateci un po' . Ciao.

[Vulplasir]

@shackle il tuo risultato è giusto ma non capisco il perché di alcune affermazione.

nella prima parte, la palla striscia senza rotolare sul piano scabro, quindi trasla soltanto, con una velocità di traslazione che , a causa dell' attrito col piano, diminuisce dal valore v0 ad un certo valore vf (da determinare) perchè la palla perde energia cinetica nello strisciamento. In questa prima parte, non si può parlare di rotazione e quindi di velocita angolare e accelerazione angolare, che sono nulle.

Ecco, ritengo che questo sia ovviamente falso, dal primo istante in cui viene lanciata, sulla pallina agisce il momento della forza d'attrito che quindi la fa ruotare attorno a se stessa, non vedo come possa non ruotare

Nella seconda parte del moto, la velocità di traslazione rimane costante, e pari in valore a vf , e la palla si mette a rotolare senza strisciare, cioè il moto diventa rotolamento puro , composto di traslazione con velocita vf e rotazione con velocita angolare ωf=vfR . Durante tutta la seconda parte del moto, sia vf che ωf non cambiano più (teoricamente, ricordiamocelo sempre !

Ma se nella prima parte non c'è nessuna velocità angolare, nella seconda parte da dove compare quel $omega$?

L'unica forza agente, nella prima parte, è la forza di attrito f=μmg , diretta in verso contrario al moto. Ma non bisogna considerarne il momento rispetto al centro sfera , altrimenti avremmo l'assurdo di una accelerazione angolare che farebbe aumentare la velocità angolare da zero, invece abbiamo detto che nella prima parte la palla striscia soltanto. E allora, come si fa ?
Prendiamo come polo un punto qualsiasi del piano di strisciamento. La forza di attrito ha momento nullo rispetto a questo polo. Se calcoliamo il momento angolare della palla rispetto a questo polo, esso deve rimanere costante , essendo nullo il momento dell' unica forza esterna ( peso e reazione si fanno equilibrio) .

Se esiste un momento rispetto al centro della sfera, tale momento la fa ruotare, è inutile ovviamente andare a cercare punti in cui il momento è nullo, ciò non toglie che la sfera ruoti attorno a se stessa. Infatti l'annullarsi della derivata del momento angolare non significa in alcun modo che la sfera non ruoti, infatti se all'istante iniziale la sfera possiede una velocità $v_0$ e una velocità angolare nulla, il suo momento angolare iniziale rispetto a un punto fisso sul pavimento orizzontale è $K_i=Mv_0R$, in un istante successivo, la velocità sarà un certo $v<v_0$ perché la forza d'attrito avrà fatto rallentare la sfera, dato che il momento angolare si deve conservare significa che la sfera ruota in ogni istante successivo all'istante iniziale, quindi si può scrivere, in ogni istante (e non solo dall'istante in cui inizia il rotolamento puro) che $Mv_0R=MvR+Iomega$ (che non sarebbe altro che il teorema di koenig del momento angolare).